等級

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星の等級に関する知識及び計算式等を紹介します。

 

見かけの等級、絶対等級

 

見かけの等級……地球から見た時の明るさで決める。

絶対等級……10パーセク(32.6光年)離れた位置での天体の明るさで決める。

 

パーセクについて

 ※\(1\)パーセクがおよそ\(3.26\)光年。

 

等級の歴史

紀元前150年ごろ

ヒッパルコス(ギリシャ)

肉眼で1から6等星まで振り分ける。   

 

18世紀末

ウィリアム・ハーシェル

等級の大きさは明るさの二乗に反比例して暗くなることを発見。

 

ジョン・ハーシェル

1等星は6等星の100倍の明るさであることを発見。

 

19世紀

ポグソン

当時、いろいろな尺度が乱立していた所で、等級の定義を決める。ハーシェルの発見をもとに1等星と6等星の明るさの差が100倍となるような明確な定義を与える。現在でもこれが使われている。

 

数式

ポグソンの公式

 

二つの星がある。

星1……明るさ(フラックス) \(F_{1}\) 、\(x\) 等級。

星2……明るさ (フラックス)\(F_{2}\) 、\(y\) 等級。

 

この時、以下の等式が成立。これより、基準を決めると全ての星の等級が決まる。

 

\(x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\)

 

 導出

定義より、1等級異なると明るさは\(100^{\frac{1}{5}}\)倍になる。

このように考えると、\(m\)等級異なると明るさは\(100^{\frac{m}{5}}\)倍になる。

つまり、

 

\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}\)

 

\(\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)\)

 

変形すると

\(x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\) となる。

 

 絶対等級、見かけの等級

本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。 

星1(見かけ、本来)……フラックス \(F_{1}\) 、\(m\) 等級。距離\(d\)パーセク

星2(絶対、仮想)……フラックス \(F_{2}\) 、\(M\) 等級。距離10パーセク

 

\(m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\) ……①

 

\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\) を考える。フラックスは距離の二乗に反比例するので、

 

\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2\) となり、これを①に代入すると、

 

\(m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2\)

 

\(M-m=5\log_{10} \displaystyle\frac{10}{d}=5(\log_{10} 10-\log_{10} d)\)

 

よって、

 

\(M=m+5-5\log_{10} d\)

 

例題

例えば、絶対等級が\(1.2\)等、見かけの等級が\(-1.3\)等、この時の星の距離を求める。

 

\(m=-1.3\)、\(M=1.2\)を代入して計算すると

 

\(\log_{10} d=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

\(d=\sqrt{10}\)(pc)だとわかる。

 

おまけ

具体的な星の等級。

太陽…… \(-26.7\) 等星

満月…… \(-12.7 \)等星

シリウス…… \(-1.46\) 等星

 ベガ…… \(+0.03\) 等星 (変光するので標準的な明るさ)

 

 

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