分散、共分散、相関係数の変換

 

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分散、共分散、相関係数の変換

データを線形変換した際に分散、共分散、相関係数がどのように変わるかを見ていきます。

元のデータをX、Yとして以下のように変換する。

$Z=aX+b$
$W=cY+d$

 

分散

$\mathrm{Var}[Z]=\mathrm{Var}[aX+b]=\mathrm{Var}[aX]=a^2 \mathrm{Var}[X]$

 

共分散

$\mathrm{Cov}(Z,W)=\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)$

$=\mathrm{Cov}(aX,cY)+\mathrm{Cov}(b,cY)+\mathrm{Cov}(aX,d)+\mathrm{Cov}(b,d)=ac \mathrm{Cov}(X,Y)$

 

相関係数

$r_{ZW}=\displaystyle\frac{\mathrm{Cov}(Z,W)}{\sqrt{\mathrm{Var}[Z]\mathrm{Var}[W]}}=\displaystyle\frac{ac}{|ac|}r_{XY}$

 

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