[mathjax]
この記事では、ガウス積分はできる前提になってます。
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}$
正規分布（ガウス分布）
$m$を平均、$\sigma$を標準偏差とする。確率密度関数は
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} $
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx=1$となっている。
期待値
期待値は以下のようになる。
$E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$
$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-m) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} m \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$
$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{x^2}{2\sigma^2}\biggr] dx+m$
$= m$
※第一項は奇関数なので消える。
分散
分散は以下のようになる。
$\mathrm{Var}(X)=E[(X-E(X))^2]=E[(X-m)^2]$
$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-m)^2 \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr] dx$
$=\biggl[-\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} (x-m) \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr]\biggr]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{exp}\biggl[-\displaystyle\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\biggr]dx$
$= \sigma^2$
