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シュールの不等式
\(r>0\)、\(x\geq 0\)、\(y\geq 0\)、\(z\geq 0\)とするとき以下が成立する。
$$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$$
証明
\(x\geq y\geq z\)としても一般性を失わない。
$左辺=x^r(x-y)(x-z)+(y-z)[y^r(y-x)-z^r(z-x)]$
$\geqq (y-z)[z^r(z-x)-z^r(z-x)]=0$
※第一項は正なので落とした。
※\(y\geq z\) より \(y^r\geq z^r\)、\(y-x\geq z-x\) を使った。
\(r=1\)
シュールの不等式で\(r=1\)のとき次の形の不等式になります。
\(x^3+y^3+z^3+3xyz\geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)
