数値計算 数値計算 差分法
数値微分 微分はコンピュータでは正確な計算で行えないため、差分法で近似して計算する。 1階微分 前進差分：$\displaystyle\frac{df}{dx}\simeq \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h...
数学
数値計算 微分方程式 オイラー型微分方程式
オイラー型微分方程式 $x^2 \displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+ax\displaystyle\frac{dy}{dx}+by=R(x)$ 以下、$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y...
統計 対数正規分布
対数正規分布 対数正規分布は次のような確率密度関数をもちます。 $f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}\exp\left(-\displaystyle\frac{(\log x...
線形代数 ヴァンデルモンドの行列式
定義 $V(x_1, x_2, \ldots, x_n) =\left(\begin{array}{cc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \...
微分方程式 演算子法
演算子法は微分方程式を解くためのテクニックです。
統計 分散、共分散、相関係数の変換
分散、共分散、相関係数の変換 データを線形変換した際に分散、共分散、相関係数がどのように変わるかを見ていきます。 元のデータをX、Yとして以下のように変換する。 $Z=aX+b$$W=cY+d$ 分散 $\mathrm{Var}=\ma...
線形代数 クラメルの公式
クラメルの公式 連立方程式の解の公式です。行列式の計算が入ってきて計算量が多いので実用的とは言い難い公式です。 （実用的には掃き出し法、逆行列をかけるなどして求める） $a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ \cdots +...
微分積分 $\varepsilon$-$\delta$論法
$\varepsilon$-$N$論法は数列の極限に関する定義 $\varepsilon$-$\delta$論法とは関数の極限に関する定義 $\varepsilon$-$N$論法 $\displaystyle\lim_{n\to\infty...
確率 PCR検査 条件付き確率
PCR検査 コロナが流行り、PCR検査というものも広まっていましたが、これに関する数学の問題を考えてみましょう 問題 コロナに人口の1%が罹患しているとする。 PCR検査の精度を実際にコロナに感染しているときに陽性と判定する確率(感度)を9...
微分方程式 拡散方程式
拡散方程式 以下のような方程式を拡散方程式という。 $$D\displaystyle\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\pa...