オイラー型微分方程式

オイラー型微分方程式

$x^2 \displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+ax\displaystyle\frac{dy}{dx}+by=R(x)$

以下、$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y^{\prime}$、$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\dot{y}$と表す。

解法

$x=e^t$とおく。

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{dt}\displaystyle\frac{dt}{dx}=\dot{y}\displaystyle\frac{1}{x}$

$\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}=\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\dot{y}\displaystyle\frac{1}{x}\right)=-\displaystyle\frac{\dot{y}}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{dt}{dx}\dot{y}=\displaystyle\frac{1}{x^2}(\ddot{y}-\dot{y}) $

もとの微分方程式に代入すると

$x^2\displaystyle\frac{1}{x^2}(\ddot{y}-\dot{y})+ax\dot{y}\displaystyle\frac{1}{x}+by=R(e^t)$

$\ddot{y}+(a-1)\dot{y}+by=R(e^t)$

あとは線形非同次2階微分方程式を解けばOKです。