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分散、共分散、相関係数の変換
データを線形変換した際に分散、共分散、相関係数がどのように変わるかを見ていきます。
元のデータをX、Yとして以下のように変換する。
$Z=aX+b$
$W=cY+d$
分散
$\mathrm{Var}[Z]=\mathrm{Var}[aX+b]=\mathrm{Var}[aX]=a^2 \mathrm{Var}[X]$
共分散
$\mathrm{Cov}(Z,W)=\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)$
$=\mathrm{Cov}(aX,cY)+\mathrm{Cov}(b,cY)+\mathrm{Cov}(aX,d)+\mathrm{Cov}(b,d)=ac \mathrm{Cov}(X,Y)$
相関係数
$r_{ZW}=\displaystyle\frac{\mathrm{Cov}(Z,W)}{\sqrt{\mathrm{Var}[Z]\mathrm{Var}[W]}}=\displaystyle\frac{ac}{|ac|}r_{XY}$
