演算子法

演算子法

演算子法は微分方程式を解くためのテクニック。

$\displaystyle\frac{d^n y}{dx^n}\cdots+\displaystyle\frac{d y}{dx}+b=Q(x)$

において$\displaystyle\frac{d}{dx}=D$と表記する。

公式

$\displaystyle\frac{1}{D}f(x)=\displaystyle\int f(x)dx$

$\displaystyle\frac{1}{(D-\alpha)^m}F(x)=e^{\alpha x}\displaystyle\frac{1}{D^m}e^{-\alpha x}F(x)$

exp型

$\displaystyle\frac{1}{f(D)}e^{\alpha x}=\displaystyle\frac{1}{f(\alpha)}e^{\alpha x}$

$\displaystyle\frac{1}{f(D)}(e^{\alpha x}F(x))=e^{\alpha x}\displaystyle\frac{1}{f(D+\alpha)}F(x)$

多項式型

テイラー展開を使用

山辺の方法を使用

三角関数型

exp型に変換する