目次
定義
$V(x_1, x_2, \ldots, x_n) =\left(\begin{array}{cc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \end{array}\right)$
行列式
$\mathrm{det}V=\displaystyle\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_{j}-x_{i})$
証明
例えば、$x_{1}=x_{2}$の時、行列式の１列目と２列目が完全一致して行列式の値が$0$になる。
つまり、$\mathrm{det}V$は$(x_{2}-x_{1})$を因数に持ちます。
同様に続けていくと、$\mathrm{det}V$は$\displaystyle\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_{j}-x_{i})$を因数に持つことがわかり、次のように置くことができます。
$\mathrm{det}V=K(x)\displaystyle\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_{j}-x_{i})$
$\mathrm{det}V$の次数は$\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}$次であり、$\displaystyle\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_{j}-x_{i})$の次数も$\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}$次であることから、$K(x)$は定数となることがわかります。
さらに係数比較すると、$K(x)=1$となり、証明完了となります。
★帰納法を用いた証明もあります。
