$\varepsilon$-$N$論法は数列の極限に関する定義
$\varepsilon$-$\delta$論法とは関数の極限に関する定義
目次
$\varepsilon$-$N$論法
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha$を厳密に書く。
$\forall \varepsilon>0$ , $\exists N \in \mathbb{N}$
$n>N$ $\Longrightarrow$ $|a_{n}-\alpha|<\varepsilon$
任意の$\varepsilon>0$に対してある整数$N$が存在し、$n>N$ならば$|a_{n}-\alpha|<\varepsilon$が成り立つ時、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha$
$\varepsilon$-$\delta$論法
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b$を厳密に書く。
$\forall \varepsilon>0$ , $\exists \delta>0 $
$0<|x-a|<\delta$ $\Longrightarrow$ $|f(x)-b|<\varepsilon$
任意の$\varepsilon>0$に対してある$\delta$が存在し、$0<|x-a|<\delta$ ならば$|f(x)-b|<\varepsilon$が成り立つ時、$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=b$という。
$0<|x-a|<\delta$が$|x-a|<\delta$になると連続の定義となる。
例
$\displaystyle\lim_{x\to 1} (4x+2)=6$を証明してみる。
$\forall \varepsilon>0$ で$\exists \delta=\displaystyle\frac{\varepsilon}{4}>0$とすると、$|x-1|<\delta$のとき
$|f(x)-b|=|(4x+2)-6|=4|x-1|<4\delta=\varepsilon$
よって、$0<|x-1|<\delta$ならば$|f(x)-b|<\varepsilon$が成立している。
