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シュワルツシルト解
一般相対論のアインシュタイン方程式の厳密解のひとつ。静的球対称な時空を考えて導く。
※計量テンソルに取り方によって符号が真逆のこともある。
\(ds^2=-\biggl(1-\displaystyle\frac{2GM}{r}\biggr)dt^2+\displaystyle\frac{dr^2}{1-\displaystyle\frac{2GM}{r}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\)
計算
\(ds^2=g_{tt}(dt)^2+g_{rr}(dr)^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\)
係数部分を計算する。
突然だが、\(g_{tt}=-e^{\mu}\)、\(g_{rr}=e^{\lambda}\)とおく。
\(R_{\mu\nu}=-\partial_{\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+ \partial_{\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\Gamma^{\tau}_{\mu\rho}\Gamma^{\rho}_{\tau\nu}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\rho\sigma}\)
\(\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}g_{\sigma\mu}+\partial_{\mu}g_{\sigma\mu}-\partial_{\rho}g_{\mu\nu})\)
に代入すると
① \(R_{tt}=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\nu”+\displaystyle\frac{1}{4}\nu’^2-\displaystyle\frac{1}{4}\nu’\lambda’+\displaystyle\frac{\nu’}{r}\biggr)e^{\nu-\lambda}\)
② \(R_{rr}=-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\nu”-\displaystyle\frac{1}{2}\nu’\lambda’+\displaystyle\frac{1}{2}\nu’^2-\displaystyle\frac{2\lambda’}{r}\biggr)\)
③ \(R_{\theta\theta}=\biggl(-1-\displaystyle\frac{1}{2}r\nu’+\displaystyle\frac{1}{2}r\lambda’\biggr)e^{-\lambda}+1\)
外部解をとると\(R_{\mu\nu}=0\)より上の\(3\)つは全て\(0\)となる。
①②を足すと \(\displaystyle\frac{\lambda’+\nu’}{r}=0\)
つまり\(\lambda’+\nu’=k \)である。また、③より
\(e^{\lambda} = 1-\displaystyle\frac{1}{2}r(\lambda’-\nu’)=1-r\lambda’\)
これを変形していくと
\( \displaystyle\frac{d}{dr}(re^{-\lambda})=1 \)
\( re^{-\lambda}=r-a \)
\( e^{\lambda}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{a}{r}}=g_{rr} \)
また、\( e^{\nu}=e^{k}\biggl(1-\displaystyle\frac{a}{r}\biggr)=-g_{tt} \)
\(r\)が大きい所では\(g_{tt}\simeq -1\)になるので\(k=0\)。まとめると
\(ds^2=-\biggl(1-\displaystyle\frac{a}{r}\biggr)dt^2+\displaystyle\frac{dr^2}{1-\frac{a}{r}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\)
ここで \(g_{00}=-1+\displaystyle\frac{a}{r}=-1-\displaystyle\frac{2}{c^2}\Phi\)
なので、ニュートンポテンシャルを考えると\(\Phi=-\displaystyle\frac{GM}{r}\)なので比較すると
\(a=\displaystyle\frac{2GM}{c^2}\)
が得られる。ここで\(c=1\)の自然単位系をとると球対称で静的なシュワルツシルト時空は以下のようになる。
\(ds^2=-\biggl(1-\displaystyle\frac{2GM}{r}\biggr)dt^2+\displaystyle\frac{dr^2}{1-\displaystyle\frac{2GM}{r}}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\)
