ディラック方程式

ディラック方程式は相対論的量子力学での方程式。

非相対論的なシュレディンガー方程式を相対論的にしたものがディラック方程式。

以下では、$c=\hbar=1$の自然単位系を使用する。

ディラック方程式

ディラック方程式は以下のようなもの。$\psi$は4成分ある。

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0$

方程式

まず、ローレンツ変換に関して変わらないように、ディラックは時間と空間に関して一階微分の方程式を立てた。

$i\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=(\boldsymbol{\alpha}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}+\beta m)\psi$

係数は（クラインゴルドン方程式をみたすように）後で決めるが、とりあえずこれもディラック方程式。ハミルトニアンは以下のようになる。

$H=\boldsymbol{\alpha}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}+\beta m=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla+\beta m$

ここで両辺に$\beta$をかけて$\gamma^{\mu}=(\gamma^{0},\gamma^{i})=(\beta,\beta\alpha_{i})$ とおくと（後でわかるが、$\beta^2=1$である。）

$\partial_{\mu}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t},\partial_{i}\biggr)$

$(-i\beta\alpha_{j}\partial_{j}+\beta^2 m)\psi=i\beta\partial_{0}\psi$

$(i\gamma^{0}\partial_{0}+i\gamma^{j}\partial_{j}-m)\psi=0$

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi(x)=0$

係数決定

相対論的な量子力学の方程式として考えられたクラインゴルドン方程式を満たすようにディラック方程式の係数を決める。

$\hat{\boldsymbol{p}}=\hat{p}_{\mu}=i\partial_{\mu}=i\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial t},\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^{i}}\biggr)$

以下の$\hat{\boldsymbol{p}}$は空間成分のみ。（$p_{i}$を表す）

$i\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=(\boldsymbol{\alpha}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}+\beta m)\psi$

演算子を2回作用させると

$\biggl(i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\biggr)^2 \psi = (\boldsymbol{\alpha}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}+\beta m)^2\psi$

$\biggl(i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\biggr)^2 \psi =[\alpha_{i}\alpha_{j}\hat{p_{i}}\hat{p_{j}}+(\alpha_{i}\beta+\beta\alpha_{i})\hat{p_{i}}m+\beta^2 m^2]\psi$

※$\alpha,\beta$は非可換にしている。後でわかるが、行列になるためこのように計算している。これを以下のクラインゴルドン方程式と比較する。

$-\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi=(\hat{p}^2+m^2)\psi$

すると係数の間に以下の関係式が成り立っていることが分かる。

$\left\{\alpha_{i},\alpha_{j}\right\} = 2\delta_{ij} $

$\left\{\alpha_{i}, \beta\right\} = 0 $

$\beta^2 =1$

この時、$\alpha$と$\beta$は行列でないと満たすものがない。

ディラック表現

$\alpha_{i}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{i} \\ \sigma_{i} & 0 \end{array} \right)$,$\beta=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{1} & 0 \\ 0 & -\boldsymbol{1}\end{array} \right)$

パウリ行列

$\sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$, $ \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right)$ , $ \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right)$