[mathjax]
カテナリー
カテナリーは懸垂線とも呼ばれる。ロープやひもの両端を持った時にできる曲線のことです。放物線だと思っていた人もいるかもしれませんが、あれは違うんです。
懸垂線とは、$y=\cosh x$の形をした双曲線関数で表されます。
証明
変分法を用います。
方針としては、位置エネルギー$U$を最小にするように考えます。
$U=\displaystyle\sum mgy=\displaystyle\int_{-k}^{k} \sigma g\sqrt{dx^2+dy^2} y=\sigma g\displaystyle\int_{-k}^{k} y\sqrt{1+{y^{\prime}}^2} dx$
$f= y\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}$として考えるが、これは$x$に依っていないので以下のことを考える。
$\displaystyle\frac{df}{dx}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\displaystyle\frac{\partial y^{\prime}}{\partial x}$
$=\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}y^{\prime}+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}y^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}y^{\prime}\right)$
すなわち、$f-\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}y^{\prime}=C(定数)$と書ける。
$f= y\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}$を上の結果に代入すると
$\displaystyle\frac{y}{\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}}=C$となる。変形すると$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{C^2}-1}$
この微分方程式を変数分離によって解いていきます。
$\displaystyle\frac{dy}{\sqrt{y^2-C^2}}=\displaystyle\frac{dx}{C}$
ここで、$y=C\cosh t$とおくと
$\pm\displaystyle\int \displaystyle\frac{C\sinh t}{C\sinh t}dt=\displaystyle\frac{1}{C}\displaystyle\int dx$
$\pm t=\displaystyle\frac{x}{C}$となる。これを$y$の式に代入すると
$y=C\cosh \displaystyle\frac{x}{C}$ という懸垂線の方程式が導かれる。※複号は消えます。
