[mathjax]
荷電粒子のラグランジアン
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンからオイラーラグランジュ方程式を解く。
計算
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンは粒子の質量を\(m\)、電荷を\(q\)として以下のように書ける。
\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{x}}^2 (t)+q\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{x}}(t)-q\phi(\boldsymbol{x}(t),t)\)
計算しやすいように添字形式に書き直す。
\(L=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{x}_{i}^2+qA_{i}\dot{x}_{i}-q\phi\)
ここからオイラーラグランジュ方程式の両辺を計算していく。
\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=q\displaystyle\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}\dot{x}_{j}-q\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}\)
\(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m\dot{x}_{i}+qA_{i}\) より
\(\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m\ddot{x}_{i}+q\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\dot{x}_{j}+\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\biggr)\)
これらをオイラーラグランジュ方程式に代入して整理すると
\(m\ddot{x}_{i}=q\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\biggr)\dot{x}_{j}-q\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}+\displaystyle\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\biggr)\)
\(=q(\varepsilon_{ijk} \dot{x}_{j}B_{k})+qE_{i}\)
ベクトル形式で書くと
\(m\ddot{\boldsymbol{x}}=q(\boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{x}}\times\boldsymbol{B})\)
となり、ローレンツ力に関する運動方程式が導かれる。
