拡散方程式

拡散方程式

以下のような方程式を拡散方程式という。

$$D\displaystyle\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}$$

解法

フーリエ変換を考える。

①$\tilde{u}(k,t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} u(x,t) dx$  (フーリエ変換)

②${u}(x,t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} \tilde{u}(k,t) dk$ (フーリエ逆変換)

拡散方程式に代入すると

$-Dk^2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\tilde{u}(k,t) dk=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\displaystyle\frac{\partial \tilde{u}(k,t)}{\partial t}dk$

$\displaystyle\frac{\partial \tilde{u}(k,t)}{\partial t}=-Dk^2 \tilde{u}(k,t)$

$\tilde{u}(k,t)=Ae^{-Dk^2 t}$

これを逆変換して解を求める。

$u(x,t)=\displaystyle\frac{A}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx-Dk^2t}dk= \displaystyle\frac{A}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-Dt\left(k-\frac{ix}{2Dt}\right)-\frac{x^2}{4t}} dk=\displaystyle\frac{A}{\sqrt{2Dt}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$