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ベルヌーイの微分方程式
ベルヌーイ微分方程式という有名な微分方程式の形です。
ベルヌーイの微分方程式
\(y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^n\) （\(n\neq 1\)）
一階線形微分方程式の右辺に \(y^n\) が加わった形となっている。
右辺の\(y^n\)を消すために\(y^{-n}\)を両辺にかけて解いていく。
例題
\(y^{\prime}-\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{y^3}{x}\)
解答
\(y\neq 0\) のとき
\(y^3\)を消すために、\(y^{-3}\)を両辺にかける。
\(y^{\prime}y^3-x^{-1}y^{-2}=x^{-1}\)
\(z=y^{-2}\) とおくと、 \(z^{\prime}=-2y^{-3}y^{\prime}\)より式は以下のように変形できる。
\(-\displaystyle\frac{z^{\prime}}{2}-x^{-1}z=x^{-1}\)
\(x^{2}z^{\prime}+2xz=-2x\) \(\cdots\) 整理した
\((x^{2}z)^{\prime}=-2x\) \(\cdots\) 左辺をうまく変形する。
\(\displaystyle\frac{x^2}{y^2}=-x^2+C\) \(\cdots\) 両辺を\(x\)で積分して整理
\(y=\pm\displaystyle\frac{x}{\sqrt{C-x^2}}\) （\(C\)は任意）
\(y=0\) のとき
上の解に含まれる。
答え
\(y=\pm\displaystyle\frac{x}{\sqrt{C-x^2}}\) （\(C\)は任意）
