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完全微分方程式
完全微分方程式
全微分方程式 \(\cdots\) \(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の形の微分方程式
完全微分方程式 \(\cdots\) \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=P\)かつ\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=Q\)を満たす\(f\)が存在するときの全微分方程式。
\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)が完全微分方程式であるためには、$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$であることが必要十分条件。（PとQは偏微分可能で偏導関数は連続という条件）
\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の左辺が全微分の形になり、\(f=C\) が一般解となる。
3変数の全微分方程式$Pdx+Qdy+Rdz=0$の場合は、
$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$、$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}=\displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}$、$\displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}$が条件となります。
積分因子
$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$が成立していない場合でも、うまく式（積分因子）をかけてあげることで完全微分方程式に変形することができる。
$\displaystyle\frac{P_{y}-Q_{x}}{Q}=\psi(x)$の時、$M=\mathrm{exp}\left(\displaystyle\int \psi(x) dx\right)$
$\displaystyle\frac{P_{y}-Q_{x}}{P}=\psi(y)$の時、$M=\mathrm{exp}\left(-\displaystyle\int \psi(y) dy\right)$
例題
問題
\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\)
答え
\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\)
今回は完全微分方程式として解きます。(同次形の微分方程式の解法でも解ける)問題を変形すると、
\((x^2-y^2)dx-2xydy=0\)
\(\displaystyle\frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial (-2xy)}{\partial x}=-2y\)
完全微分方程式となっている。\(x\)で積分をすると
\(f=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2+C(y)\) と求まる
\(C(y)=定数\)となるので答えは
\(\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2=C\)
