ボールウェイン積分

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今回はボールウェイン積分の紹介です。

 

ボールウェイン積分とは

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\biggl(\prod_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sin a_{k} x}{a_{k} x}\biggr)dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

ただし、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} |a_{k}|\leq 1\)

 

有名な例

この式は以下の例があるので有名になっています。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)   \(n=0\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)    \(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{3}\)、\(a_{2}=\displaystyle\frac{1}{5}\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{5}}{\frac{x}{5}}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)    \(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{3}\)、\(a_{2}=\displaystyle\frac{1}{5}\)、\(a_{3}=\displaystyle\frac{1}{7}\)

 

これを続けていくと次まで続く。 \(\cdots\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{5}}{\frac{x}{5}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{7}}{\frac{x}{7}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{9}}{\frac{x}{9}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{11}}{\frac{x}{11}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{13}}{\frac{x}{13}}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

※\(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{7}+\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{11}+\displaystyle\frac{1}{13}\leq 1\)

 

しかし、この次突然崩れる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{5}}{\frac{x}{5}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{7}}{\frac{x}{7}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{9}}{\frac{x}{9}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{11}}{\frac{x}{11}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{13}}{\frac{x}{13}}\cdot \displaystyle\frac{\sin \frac{x}{15}}{\frac{x}{15}}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \)

※数値はWikipedia参照。

 

※\(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{7}+\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{11}+\displaystyle\frac{1}{13}+\displaystyle\frac{1}{15}\geq 1\)

 

 

 

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