円の面積、球の体積公式の証明

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円の面積、球の体積の公式の微積による証明(導出)

 

そもそもこれは微積を用いないと厳密には証明できない感じです。

 

球の体積公式

まずは公式を書いておきます。

半径を \(r\) として

\(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)

 

証明

半径\(r\)の球を考えて、中心軸に\(x\)軸をとる。

 

 軸に垂直に切った断面は円であり、半径は\(\sqrt{r^2-x^2}\)。

これを積分する。

 

\(\displaystyle\int_{-r}^{r} \pi (\sqrt{r^2-x^2})^2 dx\)

 

\(=\pi\biggl[r^2 x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{-r}^{r}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)

となります。

 

円の面積公式

公式自体はご存知かと思います。

半径を \(r\) として

\(S=4\pi r^2\)

 

証明

\(S=\displaystyle\int\displaystyle\int_{x^2+y^2\leq a^2} dS\)

 

\(=\displaystyle\int_{-a}^{a} dx \displaystyle\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}}dy\)   (\(dS=dxdy\)

 

\(=2\displaystyle\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2}dx\)

 

\(=2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos\theta\cdot a\cos\theta d\theta\)  (\(x=a\sin\theta\)とおいた

 

\(=2a^2 \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta=2a^2\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=\pi a^2\)

となります。

 

関係性

表面積を積分する(足し合わせる)と体積になる。

つまり、体積の微分が表面積。

\((\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3)’=4\pi r^2\)

 

 おまけ

 円錐を積分で計算してみましょう。

底面の半径\(r\)、高さ\(h\)とする。

 

底面の中心を原点に、頂点に向かって軸を取る。

軸に平面に切る。\(x\)できった時、半径は

\(\displaystyle\frac{r(h-x)}{h}\) となる。(相似で求める)

 

\(V=\displaystyle\int_{0}^{h}\pi \biggl(\displaystyle\frac{r(h-x)}{h}\biggr)^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\biggl[\displaystyle\frac{(x-h)^3}{3}\biggr]_{0}^{h}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

 

 

 

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