[mathjax]
ガウス積分
下のような積分のことをガウス積分と呼びます。
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\)
証明
\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\) とする。
変数が何であろうが、統一されていれば値は同じなので
\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)
よって
\(I^2=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)
\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-ay^2}dxdy\)
重積分なので、次の変数変換をする。 \( x=r\cos \theta 、y=r\sin \theta \)
ヤコビアン …… \(r\)（ \(dx dy=r dr d\theta\) ）
積分範囲は …… \(0 \leq r < \infty \)、 \( 0 \leq r < 2\pi\) （平面全体）
\(I^2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-ar^2}rdrd\theta=2\pi \biggl[-\displaystyle\frac{1}{2a}e^{-ar^2}\biggr]_{0}^{\infty}=\displaystyle\frac{\pi}{a}\)
よって、\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\) が成立。
