ガウス積分

ガウス積分

下のような積分のことをガウス積分と呼びます。

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\)

証明

\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\) とする。

変数が何であろうが、統一されていれば値は同じなので

\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)

よって

\(I^2=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-ay^2}dxdy\)

重積分なので、次の変数変換をする。　\( x=r\cos \theta  、y=r\sin \theta \)

ヤコビアン　……　\(r\)（ \(dx dy=r dr d\theta\) ）

積分範囲は　……　\(0 \leq r < \infty \)、 \( 0 \leq r < 2\pi\)  （平面全体）

\(I^2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-ar^2}rdrd\theta=2\pi \biggl[-\displaystyle\frac{1}{2a}e^{-ar^2}\biggr]_{0}^{\infty}=\displaystyle\frac{\pi}{a}\)

よって、\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\)　が成立。