ガウス積分

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ガウス積分

ガウス積分とは

 

 

下のような積分のことをガウス積分と呼びます。

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\)

 

証明

\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\) とする。

 

変数が何であろうが、統一されていれば値は同じなので

\(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)

 

よって

\(I^2=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\)

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-ay^2}dxdy\)

 

重積分なので、次の変数変換をする。 \( x=r\cos \theta  、y=r\sin \theta \)

 

ヤコビアン …… \(r\)( \(dx dy=r dr d\theta\) )

積分範囲は …… \(0 \leq r < \infty \)、 \( 0 \leq r < 2\pi\)  (平面全体)

 

\(I^2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-ar^2}rdrd\theta=2\pi \biggl[-\displaystyle\frac{1}{2a}e^{-ar^2}\biggr]_{0}^{\infty}=\displaystyle\frac{\pi}{a}\)

 

よって、\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}}\) が成立。

 

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