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目次
円の面積、球の体積の公式の微積による証明（導出）
そもそもこれは微積を用いないと厳密には証明できない感じです。
球の体積公式
まずは公式を書いておきます。
半径を \(r\) として
\(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)
証明
半径\(r\)の球を考えて、中心軸に\(x\)軸をとる。
軸に垂直に切った断面は円であり、半径は\(\sqrt{r^2-x^2}\)。
これを積分する。
\(\displaystyle\int_{-r}^{r} \pi (\sqrt{r^2-x^2})^2 dx\)
\(=\pi\biggl[r^2 x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{-r}^{r}\)
\(=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)
となります。
円の面積公式
公式自体はご存知かと思います。
半径を \(r\) として
\(S=4\pi r^2\)
証明
\(S=\displaystyle\int\displaystyle\int_{x^2+y^2\leq a^2} dS\)
\(=\displaystyle\int_{-a}^{a} dx \displaystyle\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}}dy\) （\(dS=dxdy\)）
\(=2\displaystyle\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2}dx\)
\(=2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos\theta\cdot a\cos\theta d\theta\) （\(x=a\sin\theta\)とおいた）
\(=2a^2 \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta=2a^2\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\pi a^2\)
となります。
関係性
表面積を積分する（足し合わせる）と体積になる。
つまり、体積の微分が表面積。
\((\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3)’=4\pi r^2\)
おまけ
円錐を積分で計算してみましょう。
底面の半径\(r\)、高さ\(h\)とする。
底面の中心を原点に、頂点に向かって軸を取る。
軸に平面に切る。\(x\)できった時、半径は
\(\displaystyle\frac{r(h-x)}{h}\) となる。（相似で求める）
\(V=\displaystyle\int_{0}^{h}\pi \biggl(\displaystyle\frac{r(h-x)}{h}\biggr)^2 dx\)
\(=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\biggl[\displaystyle\frac{(x-h)^3}{3}\biggr]_{0}^{h}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h\)
