二項定理に関する等式

$ (a+b)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}a^n+_{n}\mathrm{C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\mathrm{C}_{2}a^{n-2}b^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}b^n$

1つ目

二項定理において $a=b=1$ を代入すると

$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} _{n}\mathrm{C}_{k}=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n$$

2つ目

二項定理において $a=1 , b=-1$ を代入すると

$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} _{n}\mathrm{C}_{k}=_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots +(-1)^n_{n}\mathrm{C}_{n}=0$$

3つ目

$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} _{n}\mathrm{C}_{k}^2=_{n}\mathrm{C}_{0}^2+_{n}\mathrm{C}_{1}^2+_{n}\mathrm{C}_{2}^2+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}^2=_{2n}\mathrm{C}_{n}$$

証明

$(x+1)^n(1+x)^n=(x+1)^{2n}$ という等式を利用する。 $x^n$の項を比較する。

左辺

$(_{n}\mathrm{C}_{0}x^n+_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}+_{n}\mathrm{C}_{2}x^{n-2}+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n})(_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n)$

ここで$x^n$の項の係数は　$(_{n}\mathrm{C}_{0})^2+(_{n}\mathrm{C}_{1})^2+(_{n}\mathrm{C}_{2})^2+\cdots+(_{n}\mathrm{C}_{n})^2$

右辺

$x^n$の項は二項定理より$_{2n}\mathrm{C}_{n}$

まとめ

これらより上の等式が成立。

$$_{n}\mathrm{C}_{0}^2+_{n}\mathrm{C}_{1}^2+_{n}\mathrm{C}_{2}^2+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}^2=_{2n}\mathrm{C}_{n}$$

4つ目

微分や積分することで得られる等式もある。

$$(1+x)^n= _{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n$$

両辺を微分する。

$$n(1+x)^{n-1}= _{n}\mathrm{C}_{1}+2_{n}\mathrm{C}_{2}x+\cdots +n_{n}\mathrm{C}_{n}x^{n-1}$$

$x=1$とすると

$$n\cdot 2^{n-1}= _{n}\mathrm{C}_{1}+2_{n}\mathrm{C}_{2}+3_{n}\mathrm{C}_{3}+\cdots +n_{n}\mathrm{C}_{n}$$