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目次
部分分数展開
\(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。
$$f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displaystyle\frac{1}{z-a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n}} \biggr)$$
証明
\(\displaystyle\frac{f(r)}{r-z}\) を考える。
極 \(r=z\) での留数は \(f(z)\)
極 \(r=a_{k}\) での留数は \(\displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}-z}\)
\(f(z)+\displaystyle\sum \displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}-z}=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r-z}dr\) （留数定理）
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr+\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r(r-z)}dr\) 変形
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr\) ※第二項は0になるような関数を選ぶこと。
\(=f(0)+\displaystyle\sum \displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}}\) ※留数定理で\(z=0\)
整理すると \(f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displaystyle\frac{1}{z-a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n}} \biggr)\)
例
\(\cot z=\displaystyle\frac{\cos z}{\sin z}\)の部分分数展開を考える。
計算
\(f(r)=\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}\) とおき、\(\displaystyle\frac{f(r)}{r-z}=\displaystyle\frac{\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}}{r-z}\) を考える。
極 \(r=z\) での留数は \(\cot z-\displaystyle\frac{1}{z}\)
極 \(r=n\pi\)（\(n\)は0以外の整数） での留数は \(\displaystyle\frac{1}{n\pi-z}\)
\(\cot z-\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi-z}=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r-z}dr\) （留数定理）
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr+\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r(r-z)}dr\) 変形
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr\) ※第二項が0になることは以下で示す。
\(=\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi}\) ※一行目（留数定理）で\(z=0\) かつ \(f(0)=0\)
第二項が0になる理由
直径\(2R\)の正方形の回路を考える。（原点中心）
\(\biggl|\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}}{r(r-z)}dr\biggr|\)
\(\leq \displaystyle\frac{|z|}{\pi} \displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{|dr|}{R(R-|z|)}\) （\(\biggl|\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}\biggr|\leq |\cot r|\leq 2\)、\(|r|=R）
\(\leq \displaystyle\frac{|z|}{\pi}\cdot 8R\cdot \displaystyle\frac{1}{R(R-|z|)}\to 0\) （\(R\to \infty\)、\(|dr|=8R\)）
まとめ
\(\cot z=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n\neq 0} \biggl( \displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z-n\pi}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl( \displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z-n\pi}\biggr)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(-\displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z+n\pi}\biggr)\)
結果
$$\cot z=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{2z}{z^2-n^2\pi^2}$$
