部分分数展開

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部分分数展開

\(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。

 

\(f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displaystyle\frac{1}{z-a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n}} \biggr)\)

 

証明

\(\displaystyle\frac{f(r)}{r-z}\) を考える。

 

極 \(r=z\)  での留数は \(f(z)\)

極 \(r=a_{k}\) での留数は \(\displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}-z}\)

 

 

\(f(z)+\displaystyle\sum \displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}-z}=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r-z}dr\)  (留数定理)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr+\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r(r-z)}dr\)  変形

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr\)  ※第二項は0になるような関数を選ぶこと。

 

\(=f(0)+\displaystyle\sum \displaystyle\frac{r_{k}}{a_{k}}\) ※留数定理で\(z=0\)

 

整理すると  \(f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displaystyle\frac{1}{z-a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n}} \biggr)\) 

 

 

\(\cot z=\displaystyle\frac{\cos z}{\sin z}\)の部分分数展開を考える。

 

証明の流れで解いていく。(条件確認だけして当てはめて解いてもよいが)

 

 

計算

\(f(r)=\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}\) とおき、\(\displaystyle\frac{f(r)}{r-z}=\displaystyle\frac{\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}}{r-z}\) を考える。

 

極 \(r=z\)  での留数は \(\cot z-\displaystyle\frac{1}{z}\)

極 \(r=n\pi\)(\(n\)は0以外の整数) での留数は \(\displaystyle\frac{1}{n\pi-z}\)

 

\(\cot z-\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi-z}=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r-z}dr\)  (留数定理)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr+\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r(r-z)}dr\)  変形

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{f(r)}{r}dr\)  ※第二項が0になることは以下で示す。

 

\(=\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi}\) ※一行目(留数定理)で\(z=0\) かつ \(f(0)=0\)

 

第二項が0になる理由

直径\(2R\)の正方形の回路を考える。(原点中心)

\(\biggl|\displaystyle\frac{z}{2\pi i}\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}}{r(r-z)}dr\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\frac{|z|}{\pi} \displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{|dr|}{R(R-|z|)}\)  (\(\biggl|\cot r-\displaystyle\frac{1}{r}\biggr|\leq |\cot r|\leq 2\)、\(|r|=R)

 

\(\leq \displaystyle\frac{|z|}{\pi}\cdot 8R\cdot \displaystyle\frac{1}{R(R-|z|)}\to 0\) (\(R\to \infty\)、\(|dr|=8R\))

 

 

まとめ

\(\cot z-\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi-z}=\displaystyle\sum_{n\neq 0} \displaystyle\frac{1}{n\pi}\)

 

\(\cot z=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n\neq 0} \biggl( \displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z-n\pi}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl( \displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z-n\pi}\biggr)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(-\displaystyle\frac{1}{n\pi}+ \displaystyle\frac{1}{z+n\pi}\biggr)\)

 

結果

\(\cot z=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{2z}{z^2-n^2\pi^2}\)

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