三角関数の無限乗積展開

複素関数
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三角関数の無限乗積展開

\(\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)\)

 

\(\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{(2n-1)^2 \pi^2}\biggr)\)

 

ちなみに、\(\sin z\)の展開に\(z=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)を代入すると

 

\(1=\displaystyle\frac{\pi}{2}\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{1}{4n^2}\biggr)=\displaystyle\frac{\pi}{2}\prod_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{4n^2-1}{4n^2}\)  より

 

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{2n}{2n-1}\cdot\displaystyle\frac{2n}{2n+1}=\displaystyle\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \displaystyle\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \displaystyle\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\cdots\)

 

これをウォリスの公式という。

 

導出

\(\sin z\)

\(f(z)\)が\(a_{1}, \cdots ,a_{n}\)で一位の零点を持つとき、\(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)は\(a_{1}, \cdots ,a_{n}\)で一位の極をもち、留数が\(1\)になる。

 

このとき、\(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)の部分分数展開は

 

\(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}=\displaystyle\frac{f'(0)}{f(0)}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{z-a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\biggr)\)

 

積分すると

\(\log f(z)=\displaystyle\frac{f'(0)}{f(0)}z+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl[\log\biggl(1-\displaystyle\frac{z}{a_{n}}\biggr)+\displaystyle\frac{z}{a_{n}}\biggr]+C\)

 

\(f(z)=A \mathrm{exp}\biggl(\displaystyle\frac{f'(0)}{f(0)} z\biggr) \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{z}{a_{n}}\biggr)e^{\frac{z}{a_{n}}}\)

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{\sin z}{z}\)とすると\(f(0)=1,f'(0)=0\)。

\(z=n\pi\)(\(n=\pm 1 \pm2 \cdots\) )で一位の極を持つ。

\(z=0\)を代入すると\(A=f(0)=1\)であることは分かる。

 

\(\displaystyle\frac{\sin z}{z}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{z}{n\pi}\biggr)e^{\frac{z}{n\pi}}\biggl(1+\displaystyle\frac{z}{n\pi}\biggr)e^{-\frac{z}{n\pi}}\) ※\(n\)は正負両方あるから2つある。

 

\(\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)\)

よって示された。

 

\(\cos z\)

\(\cos z=\displaystyle\frac{\sin 2z}{2\sin z}=\displaystyle\frac{2z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{n^2\pi^2}\biggr)}{2z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2}\biggr)}=\displaystyle\frac{2z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{n^2\pi^2}\biggr)}{2z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{(2n^2)\pi^2}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{(2n-1)^2 \pi^2}\biggr)\)  \(n\)が奇数の部分だけ残るから

 

\(\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{4z^2}{(2n-1)^2 \pi^2}\biggr)\)

 

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