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完全微分方程式
微分方程式の基本解法のひとつ、完全微分方程式の解き方です。
用語
いろいろ出てくるのでまとめておきます。
全微分方程式 \(\cdots\) \(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の形の微分方程式。
積分曲線 \(\cdots\) \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=P\)かつ\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=Q\) を満たす\(f\) のこと。
完全微分方程式 \(\cdots\) \(f\)が存在するときの全微分方程式。
完全微分方程式
\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)が完全微分方程式であるためには、\(P_{y}=Q_{x}\)であることが必要十分条件。（PとQは偏微分可能で偏導関数は連続という条件）
※\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の左辺が全微分の形になる。
\(f=C\) が一般解となる。
例題
\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\)
答え
\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\)
今回は完全微分方程式として解きます。(同次形の微分方程式の解法でも解ける)問題を変形すると、
\(2xydy=(x^2-y^2)dx\)
\((x^2-y^2)dx-2xydy=0\)
\(\displaystyle\frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial (-2xy)}{\partial x}=-2y\)
完全微分方程式となっている。
\(x\)で積分をすると、\(f=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2+C(y)\) と求まる。
上と同様にすると \(C(y)=定数\)となるので答えは
\(\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2=C\)
