微分方程式2 変数分離形

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変数分離形

 

 

変数分離

\(y’=f(x)g(y)\) のような形の微分方程式を解くときの方法を「変数分離」と呼んでいます。解いていきます。

 

\(y’=f(x)g(y)\) の両辺を\(x\)で積分する。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{dx} dx=\displaystyle\int f(x)g(y)dx\) 

変形すると

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{g(y)} =\displaystyle\int f(x)dx\) 

 

これは左辺と右辺それぞれ解けるので解くことが出来る。

 

上の計算から、形式的に\(y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}\) を分数であるかのように考えて左辺に\(x\)に関する式を、右辺に\(y\)に関する式を集めて解いても良いことがわかる。(物理などにおいて、計算するだけなら)

場合分けが必要になる場面もしばしば出てくるので注意しておく。

例題を見てみましょう。

 

例題

1番

\(y’=xy\)

 

2番

 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{y}\)

 

解答

1番

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=xy\)

\(y\neq 0\)のとき、変数分離して計算すると

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int xdx\)

 

\(\log |y|=\displaystyle\frac{x^2}{2}+C\)

 

\(|y|=e^{(\frac{x^2}{2}+C)}\)

 

\(y=\pm e^{(\frac{x^2}{2}+C)}=\pm e^{C}\cdot e^{\frac{x^2}{2}}=Ae^{\frac{x^2}{2}}\)  (\(A=\pm e^{C}\)(任意定数)とおいた。)

 

\(A=0\)で\(y=0\)となるので、\(y=0\)でも解となっている。

 

\(y=Ae^{\frac{x^2}{2}}\) が答え。

 問題の式に代入すると解となっていることがすぐわかる。

 

2番

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{y}\)

 

変数分離して計算すると

 

\(\displaystyle\int xdx=-\displaystyle\int ydy\) となる。

 

\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2=-\displaystyle\frac{1}{2}y^2+C\)

 

両辺2倍して\(2C=A(任意定数)\) とおくと

\(x^2+y^2=A\)  となるので、これは円を表す。

 

 

 

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