二項定理に関する等式

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二項定理に関する等式

二項定理から得られる等式です。有名なもの。

 

 

二項定理

 

\( (a+b)^n=_{n}C_{0}a^n+_{n}C_{1}a^{n-1}b+_{n}C_{2}a^{n-2}b^2\cdots +_{n}C_{n}b^n\)

 というのが二項定理。

 

等式

 

1つ目

上の式において \(a=b=1\) を代入すると

 

\( _{n}C_{0}+_{n}C_{1}+_{n}C_{2}+\cdots +_{n}C_{n}=2^n\)

 

2つ目

上の式において \(a=1 , b=-1\) を代入すると

 

\( _{n}C_{0}-_{n}C_{1}+_{n}C_{2}-\cdots +(-1)^n_{n}C_{n}=0\)

 

3つ目

 

 \( _{n}C_{0}^2+_{n}C_{1}^2+_{n}C_{2}^2+\cdots +_{n}C_{n}^2=_{2n}C_{n}\)

 

\((x+1)^n(1+x)^n=(x+1)^{2n}\) という等式を利用する。

 

 \(x^n\)の項を比較する

左辺

\((_{n}C_{0}x^n+_{n}C_{1}x^{n-1}+_{n}C_{2}x^{n-2}+\cdots +_{n}C_{n})(_{n}C_{0}+_{n}C_{1}x+_{n}C_{2}x^2\cdots +_{n}C_{n}x^n)\)

 

ここで\(x^n\)の項の係数は \((_{n}C_{0})^2+(_{n}C_{1})^2+(_{n}C_{2})^2+\cdots+(_{n}C_{n})^2\)

 

右辺

\(x^n\)の項は二項定理より\(_{2n}C_{n}\)

 

まとめ

これらより上の等式が成立。

 \( _{n}C_{0}^2+_{n}C_{1}^2+_{n}C_{2}^2+\cdots +_{n}C_{n}^2=_{2n}C_{n}\)

 

4つ目

微分や積分することで得られる等式もある。

 

\((1+x)^n= _{n}C_{0}+_{n}C_{1}x+_{n}C_{2}x^2\cdots +_{n}C_{n}x^n\)

 

両辺を微分する。

 

\(n(1+x)^{n-1}= _{n}C_{1}+2_{n}C_{2}x+\cdots +n_{n}C_{n}x^{n-1}\)

 

\(x=1\)とすると

\(n\cdot 2^{n-1}= _{n}C_{1}+2_{n}C_{2}+3_{n}C_{3}+\cdots +n_{n}C_{n}\)

という式が得られる。

 

 

 

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