三次方程式の解の公式

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三次方程式の解の公式(カルダノの公式)

このやり方で解けばどんな三次方程式も解けます。

 

立方完成

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)を変形して、2次の項をうまく消去する。

\(x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}\)と置くと三次方程式は次のようになる。

\(a\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^3+b\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^2+c\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)+d=0\)

整理すると

\(y^3+\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{3a^2}y+\displaystyle\frac{2b^3}{27a^2}-\displaystyle\frac{bc}{3a}+d=0\)

となり、二次の項を消去できた。以下、後で便利なので次のように置いておく。\(y^3+py+q=0\) となる。

\(p=\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{3a^2}\)

\(q=\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{3a^2}+\displaystyle\frac{d}{a}\)

 

\(y=s+t\)と置き換える。

\( (s+t)^3+(s+t)p+q=0\)

\(s^3+t^3+q+(s+t)(3st+p)=0\)

 

ここで、\( (s+t) \) に関して恒等式と考えると(これは必要十分ではないのでよくない考えですが今回はこれが成立するsとtを求められれば良いので大丈夫です。)

\( s^3+t^3+q=0\)

\(3st+p=0\)

二式から\(t\)を消去すると \(s^6+qs^3-\displaystyle\frac{p^3}{27}=0\)

\(s^3\)を一つの文字とみて二次方程式を解く。

\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} \pm\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)

\(s\)と\(t\)は対称なので

\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)

\(t^3=-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)

 

ここから\(s,t\)を求めることになりますが、

\(s^3=a\) の時 \( s=\sqrt[3]{a}、\sqrt[3]{a}\omega、\sqrt[3]{a}\omega^2\) と3つ解があることに注意し、\((3st+p)=0\)であることから、\(st\)が実数になるように工夫すると

 

\((s,t)=\left(\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)

\((s,t)=\left(\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)

\((s,t)=\left(\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)

 

以上をまとめると、三次方程式の解は次のようになる。

\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)

\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)

\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)

 

 

 

 

 

 

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