三次方程式の解の公式（カルダノの公式）
立方完成
\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)を変形して、2次の項をうまく消去する。
\(x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}\)と置くと三次方程式は次のようになる。
\(a\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^3+b\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^2+c\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)+d=0\)
整理すると
\(y^3+\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{3a^2}y+\displaystyle\frac{2b^3}{27a^2}-\displaystyle\frac{bc}{3a}+d=0\)
となり、二次の項を消去できた。式を見やすくするため次のように置く。
\(p=\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{3a^2}\)
\(q=\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{3a^2}+\displaystyle\frac{d}{a}\)
$y^3+py+q=0$ となる。
\(y=s+t\)と置き換える。
\( (s+t)^3+(s+t)p+q=0\)
\(s^3+t^3+q+(s+t)(3st+p)=0\)
\( (s+t) \) に関して恒等式と考えると（必要十分ではないが今はこれが成立する$s$と$t$を求められれば良いので問題ない）
\( s^3+t^3+q=0\)
\(3st+p=0\)
二式から\(t\)を消去すると \(s^6+qs^3-\displaystyle\frac{p^3}{27}=0\)
\(s^3\)を一つの文字とみて二次方程式を解く。
\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} \pm\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)
\(s\)と\(t\)は対称なので
\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)
\(t^3=-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)
ここから\(s,t\)を求めることになりますが、
\(s^3=a\) の時 \( s=\sqrt[3]{a}、\sqrt[3]{a}\omega、\sqrt[3]{a}\omega^2\) と3つ解があることに注意し、\((3st+p)=0\)であることから、\(st\)が実数になるように工夫すると
\((s,t)=\left(\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)
\((s,t)=\left(\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)
\((s,t)=\left(\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}},\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}}\right)\)
解
以上をまとめると、三次方程式の解は次のようになる。
\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)
\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)
\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}+\omega^2\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} +\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}+\omega\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{b^3}{27a^3}+\displaystyle\frac{bc}{6a^2}-\displaystyle\frac{d}{2a} -\sqrt{\biggl( \displaystyle\frac{b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{6a^2}+\displaystyle\frac{d}{2a}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{-b^2+3ac}{9a^2}\biggr)^3}}\)
