三次方程式の解の公式

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三次方程式の解の公式(カルダノの公式)

このやり方で解けばどんな三次方程式も解けます。

 

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) を考えます。

立方完成

目標

2次の項を平行移動によって消去します。

解き方

\(x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}\) とすると

 \(a\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^3+b\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^2+c\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)+d=0\)

 

\(ay^3+\biggl(c-\displaystyle\frac{b^2}{3a}\biggr)y+\displaystyle\frac{2b^3}{27a^2}-\displaystyle\frac{bc}{3a}+d=0\)

 

ここで

\(p=\displaystyle\frac{c}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{3a^2}\)

\(q=\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{3a^2}+\displaystyle\frac{d}{a}\)

とおくと方程式は

\(y^3+py+q=0\)

となる。

 二次消去は終了です。

 

\(y=s+t\)と置き換える。

いきなりなぜと思うかもしれないですがこういうものなんです。

\( (s+t)^3+(s+t)p+q=0\)

\(s^3+t^3+q+(s+t)(3st+p)=0\)

ここで、\( (s+t) \) に関して恒等式と考えると(これは必要十分ではないのでよくない考えですが今回はこれが成立するsとtを求められれば良いので大丈夫です。)

\( s^3+t^3+q=0\)

\((3st+p)=0\)

 下の式から \( t=-\displaystyle\frac{p}{3s}\)

これを上の式に代入すると

\(s^3+\biggl( -\displaystyle\frac{p^3}{27s^3}\biggr)+q=0 \)

\(s^6+qs^3-\displaystyle\frac{p^3}{27}=0\)

ここで二次方程式を解く。\(s^3\)を一つの文字とみれば良い。

 

\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} \pm\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)

 

ここから\(s\)を求めることになりますが、

\(s^3=a\) の時\( s=\sqrt[3]{a}、\sqrt[3]{a}\omega、\sqrt[3]{a}\omega^2\) と3つ解があることに注意。

また \((3st+p)=0\) から\(t\)も求めることが出来ます。

元を辿ると答えが出ます。

 

 公式もありますがとても煩雑です。それよりも解く過程が重要です。

 

 

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