三次方程式の解の公式

シェアする

三次方程式の解の公式(カルダノの公式)

このやり方で解けばどんな三次方程式も解けます。

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) を考えます。

 

立方完成

目標

2次の項を平行移動によって消去する。

 

解き方

\(x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}\) とすると

 

\(a\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^3+b\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)^2+c\biggl(y-\displaystyle\frac{b}{3a}\biggr)+d=0\)

 

\(ay^3+\biggl(c-\displaystyle\frac{b^2}{3a}\biggr)y+\displaystyle\frac{2b^3}{27a^2}-\displaystyle\frac{bc}{3a}+d=0\)

 

ここで

\(p=\displaystyle\frac{c}{a}-\displaystyle\frac{b^2}{3a^2}\)

\(q=\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}-\displaystyle\frac{bc}{3a^2}+\displaystyle\frac{d}{a}\)

 

とおくと方程式は \(y^3+py+q=0\) となる。二次消去は終了。

 

\(y=s+t\)と置き換える。

\( (s+t)^3+(s+t)p+q=0\)

\(s^3+t^3+q+(s+t)(3st+p)=0\)

 

ここで、\( (s+t) \) に関して恒等式と考えると(これは必要十分ではないのでよくない考えですが今回はこれが成立するsとtを求められれば良いので大丈夫です。)

\( s^3+t^3+q=0\)

\((3st+p)=0\)

 

二式から\(t\)を消去すると \(s^6+qs^3-\displaystyle\frac{p^3}{27}=0\)

 

\(s^3\)を一つの文字とみて二次方程式を解く。

\(s^3=-\displaystyle\frac{q}{2} \pm\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{q}{2}\biggr)^2 +\biggl(\displaystyle\frac{p}{3}\biggr)^3}\)

 

ここから\(s\)を求めることになりますが、

\(s^3=a\) の時 \( s=\sqrt[3]{a}、\sqrt[3]{a}\omega、\sqrt[3]{a}\omega^2\) と3つ解があることに注意。

 

また \(3st+p=0\) から\(t\)も求めることが出来ます。

公式もありますがとても煩雑です。解く流れが大切です。

シェアする