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目次
期待値
期待される値。それぞれの値とその時の確率の積の総和になる。
定義
\(E(X)\)で表す。確率変数\(X\)が\(a_{k}\)を取る確率がPであるとき
\(E[X]=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} P(X=a_{k})\)
※連続分布の場合、積分に置き換わります。
公式
\(E[\alpha X+\beta Y]=\alpha E[X]+\beta E[Y]\) ※線形性
\(E[X+k]=E[X]+k\)
\(E[XY]=E[X]E[Y]\) ※無相関な場合
分散
分散はデータの散らばり度合いを表す。
定義
\(V(X)\)、\(\mathrm{Var}(X)\)などと書く。
\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]\)
公式
\(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2\)
\(\mathrm{Var}(aX)=a^2 \mathrm{Var}(X)\)
\(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\) ※無相関なとき
\(\mathrm{Var}(X+k)=\mathrm{Var}(X)\)
\(\mathrm{Var}(X)\geq 0\)
証明
\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]\) ※定義より
\(=E[X^2-2E[X]X+E[X]^2]\)
\(=E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2\) ※期待値の線形性を使った。
\(=E[X^2]-E[X]^2\)
\(\mathrm{Var}(aX)=E[(aX-E[aX])^2]\)
\(=E[(aX-aE[X])^2]\) ※係数は出せる
\(=E[a^2(X-E[X])^2]=a^2 E[(X-E[X])^2]\)
\(=a^2\mathrm{Var}(X)\)
\(\mathrm{Var}(X+Y)= E[(X+Y)^2]-(E[X+Y])^2\) ※公式
\(= E[X^2+2XY+Y^2]-(E[X]^2+2E[X]E[X]+E[Y]^2)\)
\(= E[X^2]+E[Y^2]-E[X]^2-E[Y]^2+2(E[XY]-E[X]E[Y])\)
\(= \mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\) ※無相関なので最後の項消える
\(\mathrm{Var}(X+k)=E[(X+k-E[X+k])^2]\)
\(=E[(X+k-(E[X]+k))^2]=E[(X-E[X])^2]\)
\(=\mathrm{Var}(X)\)
共分散
対応する二組のデータの間の関係を表す。
定義
\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]\)
公式
\(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\) ※定義見たらそうなる。
\(\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab\mathrm{Cov}(X,Y)\) ※それぞれ外に出せるから
\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\)
\(V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)\)
証明
\(\mathrm{Cov}(X,Y)= E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \)
\(= E[XY-E[X]Y-E[Y]X+E[X]E[Y]]\)
\( =E[XY]-E[X]E[Y]-E[Y]E[X]+E[X]E[Y]\) ※線形性
\( =E[XY]-E[X]E[Y]\)
下は先ほどの分散の3つ目の計算と同じだが、相関部分が残って共分散に対応。
\(\mathrm{Var}(X+Y)= E[(X+Y)^2]-(E[X+Y])^2\) ※公式
\(= E[X^2+2XY+Y^2]-(E[X]^2+2E[X]E[X]+E[Y]^2)\)
\(= E[X^2]+E[Y^2]-E[X]^2-E[Y]^2+2(E[XY]-E[X]E[Y])\)
\(= \mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)\)
