目次
不等式
$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$
等号成立は、$\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}=一定$で,$n=2$のときの方程式は有名.
$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2$$
証明
次の式は任意の$t$で成立.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0$$
展開すると,
$$\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0$$
① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) のとき
任意の\(t\)に対して成立するので判別式\(D\leqq 0\)が条件.
$$\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leqq 0$$
$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$
② \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) のとき
$a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$はすべて$0$なので不等式は成立する.
