ガンマ関数の無限積表示

$\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt$　を計算することで無限積表示を求める。

ガウス公式、オイラー表示

$\Gamma(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}$　

$\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt$　を計算することで無限積表示を求める。

計算

$\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt$

$=\displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)^n n^{z-1} x^{z-1} n dx$　※$t=nx$と置換。

$=n^z\displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)^n x^{z-1} dx$　※$n^z$は$x$関係ないので外に。

$=n^z B(n+1,z)$　※$B(p,q)=B(q,p)$なので逆でも良い。

$=n^z\displaystyle\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(z)}{\Gamma(z+n+1)}$　※$B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

$=n^z n! \displaystyle\frac{\Gamma(z)}{(z+n)(z+n-1)\cdots(z+1)z\Gamma(z)}$　

※$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ と $\Gamma(n+1) = n!$を使った。

$=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}$

計算結果

$\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}$　$\cdots$　①

左辺の極限

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^{(-\frac{n}{t})\cdot(-t)} t^{z-1} dt$

$=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt=\Gamma(z)$

右辺の極限

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{1}{z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \biggl(\displaystyle\frac{k+1}{k}\biggr)^z \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k}{z+k}$

$=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}$　

※$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \biggl(\displaystyle\frac{k+1}{k}\biggr)^z=n^z$　

結果（ガウス公式）

計算した極限を①の左辺だけに適用。

$\Gamma(z)=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}$

結果（オイラー表示）

計算した極限を①の両辺に適用。

$\Gamma(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}$　

ワイエルシュトラス表示

$\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}$

$\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k}-\log n\biggr)$はオイラー定数。

計算

$\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n} (z+k)}{n^z n!}$

※オイラー表示での計算から　$\Gamma(z)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}$

$=\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}=\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} \displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}$

途中計算

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z}\displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{z(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots)}$

$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{z(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n+\log n)}=e^{\gamma z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{(z\log n)}$

※$\gamma$はオイラー定数で　$\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k}-\log z\biggr)$

$=e^{\gamma z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} n^z=e^{\gamma z}$

元の計算続き

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} \displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}=ze^{\gamma z} \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} $

$=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}$

結果

$$\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}$$