ネスビットの不等式

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ネスビットの不等式とは

ネスビット(Nesbitt)の不等式とは以下の不等式のこと。

シャピロの不等式の\(n=3\)の場合にあたる。

 

ネスビットの不等式

\(a>0\)、\(b>0\)、\(c>0\)のとき

\(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}\geq \displaystyle\frac{3}{2}\) が成立。

 

シャピロの不等式

\(a_{k}\geq 0\)、\(a_{n+1}=a_{1} , a_{n+2}=a_{2}\)のとき

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{a_{k}}{a_{k+1}+a_{k+2}}\geq \displaystyle\frac{n}{2}\) が成立。

 

\(n\)は12以下または23以下の奇数。

 

証明

証明方法はたくさんありますが2つほど紹介します。

 

証明1

\((左辺)-(右辺)\geq 0\)を示す。

見やすくするために両辺に \(2(a+b)(b+c)(c+a)\) をかける。

 

\(2(a+b)(b+c)(c+a)[(左辺)-(右辺)]\)

 

\(=2(a+b)(b+c)(c+a)\biggl(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}-\displaystyle\frac{3}{2}\biggr)\)

 

\(=2a(a+b)(c+a)+2b(a+b)(b+c)+2c(b+c)(c+a)\)

\(-3(a+b)(b+c)(c+a)\)

 

\(\geq 2(a^3+b^3+c^3)-(a^2 b+ab^2+b^2 c+bc^2+c^2 a+ca^2)\geq 0\) を示す。

 

\(a>0\)、\(b>0\)、\(c>0\)の条件から \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) は成立。

 

変形すると \(a^3+b^3-a^2 b-ab^2\geq 0\) を得る。

 

同様にして \(b^3+c^3-b^2 c-bc^2\geq 0\) 

 

\(c^3+a^3-c^2 a-ca^2\geq 0\) 

 

この3式を足すと 

\(2(a^3+b^3+c^3)-(a^2 b+ab^2+b^2 c+bc^2+c^2 a+ca^2)\geq 0\) 

が得られる。証明完了。

 

証明2

\(2(左辺-右辺)\)

 

\(=2\biggl(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}-\displaystyle\frac{3}{2}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{(a+b)+(c+a)-(b+c)}{b+c}\)

\(+\displaystyle\frac{(b+c)+(a+b)-(c+a)}{c+a}\)

\(+\displaystyle\frac{(b+c)+(c+b)-(a+b)}{a+b}-3\)

 

\(=\displaystyle\frac{a+b}{b+c}+\displaystyle\frac{c+a}{b+c}-1+\displaystyle\frac{b+c}{c+a}+\displaystyle\frac{a+b}{c+a}-1+\displaystyle\frac{c+a}{a+b}+\displaystyle\frac{b+c}{a+b}-1-3\)

 

\(\geq 2\sqrt{\displaystyle\frac{a+b}{b+c}\cdot\displaystyle\frac{b+c}{a+b}}+2\sqrt{\displaystyle\frac{b+c}{c+a}\cdot\displaystyle\frac{c+a}{b+c}}+2\sqrt{\displaystyle\frac{c+a}{a+b}\cdot\displaystyle\frac{a+b}{c+a}}-6\)

 

\(=2+2+2-6=0\) 証明完了。

 

相加平均・相乗平均の関係を使用した。

 

 

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