シュールの不等式

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シュールの不等式

以下の不等式をシュール(schur)の不等式という。

\(r>0\)、\(x\geq 0\)、\(y\geq 0\)、\(z\geq 0\)とするとき

 

\(x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0\) が成立する。

 

証明

一見難しそうに思えるが、対称性を利用すればそこまで難しくない。

 

\(x\geq y\geq z\)としても一般性を失わない。

 

\(左辺=x^r(x-y)(x-z)+(y-z)[y^r(y-x)-z^r(z-x)]\)

 

\(\geq (y-z)[z^r(z-x)-z^r(z-x)]=0\)

 

※第一項は正なので落とした。

※\(y\geq z\) より \(y^r\geq z^r\)、\(y-x\geq z-x\) を使った。

 

\(r=1\)

シュールの不等式で\(r=1\)のとき、展開して整理すると

 

\(x^3+y^3+z^3+3xyz\geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\) 

という不等式になります。

もしかしたら見たことあるのではないでしょうか。

 

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