レビチビタ記号

[mathjax]

レビチビタ記号は以下のように定義されます。便利なので導入されました。

$\epsilon_{ijk}$ ※$i , j , k =1 , 2 , 3$

①　$\epsilon_{123}=1$

②　添え字に同じ数字があれば$0$。$\epsilon_{113}=0$など。

③　$\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1$

　　$\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1$

※奇数回の置換で$\epsilon_{123}$ にできるものを$-1$、偶数回の置換で$\epsilon_{123}$ にできるものを$1$と定義している。

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}$$=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=$$\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$

※$\delta_{ij}$ は「クロネッカーのデルタ」と呼ばれる。

$$\delta_{ij}=\begin{cases}1 & (i=j) \\ 0 & (i\neq j)\end{cases}$$

レビチビタ記号を使うと外積が以下のように書ける。

$[\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}]_{i}=\epsilon_{ijk}\boldsymbol{A}_{j} \boldsymbol{B}_{k}$

ベクトル解析の公式の証明でよく使用される。