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目次
内容
定数係数二階非同次線形微分方程式は、次の形で表されます。
$y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=Q(x)$
答えは、(同次形の解)+(特殊解)で表されます。
同次解
答えは、同次形の解と特殊解の和で表されるので、まずは \(y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=0\) の同次形の方程式を解きます。同次形の解き方は下の記事にまとめています。
特殊解
\(Q(x)\)が多項式のとき
\(Q(x)\)と同じ次数を仮定する。\(y=cx+d\)など。
\(Q(x)\)が指数関数のとき
\(Q(x)=Ae^{\alpha x}\) と書けるとき \(y=ce^{\alpha x}\) とおく。
\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の解と1つ被っていたら \(y=cx e^{\alpha x}\)
\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の重解となっていたら \(y=cx^2 e^{\alpha x}\)
\(Q(x)\)が三角関数のとき
\(Q(x)=a\cos mx+b\sin mx\) と書けるとき \(y=D\cos mx+E\sin mx\) とおく。
うまくいかないときは、\(y=x(D\cos mx+E\sin mx)\) などとおく。
特殊解の一般形
独立な特解を$y_{1}$、$y_{2}$としたとき
$-y_{1}\displaystyle\int\displaystyle\frac{Ry_{2}}{y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}}dx+y_{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{Ry_{1}}{y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}}dx$
★証明
$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$で、$c_{1}^{\prime}y_{1}+c_{2}^{\prime}y_{2}=0 \cdots ①$を要請する。
$y^{\prime}$と$y^{\prime\prime}$を求めて微分方程式に代入して整理すると
$c_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+c_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}=R \cdots ②$
①②から
$c_{1}=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{Ry_{2}}{y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}}dx$
$c_{2}=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{Ry_{1}}{y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}}dx$
これを$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$に代入して結果を得ます。
例題
問題
1番
\(y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+3y=x^2+x\)
2番
\(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=e^{3x}\)
3番
\(y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+4y=\sin x\)
解答
1番
同次形の解は \(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}\) になります。
特殊解を求めるにあたり、右辺が二次式なので\(y=ax^2+bx+c\)とおいて計算すると特殊解は以下のようになる。
\(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)
よって、これらの和が答えとなる。
\(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}+\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)
2番
同次形の解は \(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}\)になります。
特殊解を求めるにあたり、右辺は指数関数なので、\(y=A e^{3x}\) とおいて計算すると特殊解は \(y=\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\) となる。
\(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\)
3番
同次形の解は \(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}\)になります。
特殊解を求めるにあたり、右辺は三角関数なので \(y=a\sin x+b\cos x\) とおいて計算すると \(y=\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\)
\(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}+\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\)
