デルタ関数

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デルタ関数

説明

下の二つの性質を満たすものをデルタ関数という。

 

① \(\delta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x\neq 0)$} \\ \infty & \text{$(x=0)$} \end{cases}\)

 

② \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx=1\)

 

\(x=0\) でのみ異常に尖って、全範囲での積分値が\(1\)となる関数である。

分かりやすく言うと上のような説明の関数となる。

むちゃくちゃな関数だが、便利なので導入している。

 

定義 

上の定義でも良いが、上の説明でのことを一つの式で定義できる。

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x) dx=f(0)\)

 

※拡張して \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x-a)\delta(x) dx=f(a)\) とも書ける。

 

性質

① \(\delta(x)=\delta(-x)\)  ※偶関数 グラフ考えると直感と合う。

 

② \(x\delta(x)=0\)   \(x=0\)では当然0、\(x\neq 0\)では\(\delta(x)=0\)

 

③ \(\delta(ax)=\displaystyle\frac{1}{|a|}\delta(x)\)  \(a=-1\)の時、①になる。

 

④ \(\delta(x)=\displaystyle\frac{d}{dx}\theta(x)\) 下の定義とグラフから直感に合う。

 

\(\theta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x<0)$} \\ 1 & \text{$(x\geq 0)$} \end{cases}\) 階段関数という。

 

具体例

具体的な関数を書いてみる。

\(\delta(x)=\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi}\cdot \displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}\)

 

デルタ関数の具体形となっていることを示す。

その1

\(\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi}\cdot \displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\begin{cases} \infty & \text{$(x= 0)$} \\ 0 & \text{$(x\neq 0)$} \end{cases}\)

 

その2

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi} \cdot\displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{\epsilon}{\epsilon^2 t^2+\epsilon^2}\epsilon dt\) (\(x=\epsilon t\) とした)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{dt}{t^2+1}=1\) 

 

となり、デルタ関数の性質を満たしている。

 

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