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目次
デルタ関数
説明
下の二つの性質を満たすものをデルタ関数という。
① \(\delta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x\neq 0)$} \\ \infty & \text{$(x=0)$} \end{cases}\)
② \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx=1\)
\(x=0\) でのみ異常に尖って、全範囲での積分値が\(1\)となる関数である。
分かりやすく言うと上のような説明の関数となる。
むちゃくちゃな関数だが、便利なので導入している。
定義
上の定義でも良いが、上の説明でのことを一つの式で定義できる。
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x) dx=f(0)\)
※拡張して \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x-a)\delta(x) dx=f(a)\) とも書ける。
性質
① \(\delta(x)=\delta(-x)\) ※偶関数 グラフ考えると直感と合う。
② \(x\delta(x)=0\) \(x=0\)では当然0、\(x\neq 0\)では\(\delta(x)=0\)
③ \(\delta(ax)=\displaystyle\frac{1}{|a|}\delta(x)\) \(a=-1\)の時、①になる。
④ \(\delta(x)=\displaystyle\frac{d}{dx}\theta(x)\) 下の定義とグラフから直感に合う。
\(\theta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x<0)$} \\ 1 & \text{$(x\geq 0)$} \end{cases}\) 階段関数という。
⑤ \(\delta((x-a)(x-b))=\displaystyle\frac{1}{|a-b|}[\delta(x-a)+\delta(x-b)]\)
※$b=-a$とすると、$\delta(x^2-a^2)=\displaystyle\frac{1}{2a}\left[\delta(x-a)+\delta(x+a)\right]$となる。
量子力学のデルタ関数型ポテンシャルの問題で登場することがある。
⑥ \(x\delta^{\prime} (x)+\delta(x)=0\)
具体例
具体的な関数を書いてみる。
\(\delta(x)=\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi}\cdot \displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}\)
デルタ関数の具体形となっていることを示す。
その1
\(\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi}\cdot \displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\begin{cases} \infty & \text{$(x= 0)$} \\ 0 & \text{$(x\neq 0)$} \end{cases}\)
その2
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\displaystyle\frac{1}{\pi} \cdot\displaystyle\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{\epsilon}{\epsilon^2 t^2+\epsilon^2}\epsilon dt\) （\(x=\epsilon t\) とした)
\(=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{dt}{t^2+1}=1\)
となり、デルタ関数の性質を満たしている。
