ポアソン分布

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ポアソン分布

 

確率

\(P(k)=\displaystyle\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) 

単位時間当たり平均\(\lambda\)回起こる事象が単位時間当たりちょうど\(k\)回起こる確率。

 

証明

ポアソン分布は二項分布極限。(ポアソン極限定理)

平均\(\lambda\)回起こるので、\(np=\lambda\)である。

 

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {}_n \mathrm{C}_l p^l (1-p)^{n-l}\)

\(= \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{n!}{l!(n-l)!}\displaystyle\frac{\lambda^l}{n^l}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{n-l}\)

\(= \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{n}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdots \displaystyle\frac{n-l+1}{n}\displaystyle\frac{\lambda^l}{l!}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{n}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{-l}\)

\(=\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\lambda^l}{l!} \)


最後の変形の詳細

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(\displaystyle\frac{n}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdots \displaystyle\frac{n-k+1}{n}\biggr)=1\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{-\frac{n}{\lambda}(-\lambda)}=e^{-\lambda}\)


\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\biggr)^{-l}=1\)

 

例題

1番

\(10\)分間に車が通る平均台数を\(3\)台とする。このとき、\(10\)分間に\(6\)台通る確率は?

 

\(\lambda=3\)、\(k=6\)である。

\(P(20)=\displaystyle\frac{3^6 e^{-3}}{6!} \simeq 0.05\)

 

2番

\(3\)分間に車が通る平均台数を\(3\)台とする。このとき、\(6\)分間に\(6\)台通る確率は?

 

単位時間を\(6\)分にする。平均台数は\(6\)台になるので、

\(\lambda=3\times 2=6\)、\(k=6\)である。

\(P(6)=\displaystyle\frac{6^6 e^{-6}}{6!}\simeq0.16\)

 

期待値

\(E[X] = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)e^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}\)

\(=\lambda e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\)

\(=\lambda\)

 

分散

\(E[X^2] = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k^2 e^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\)

\(=e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\)

\(=e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \displaystyle\frac{\lambda^k}{(k-2)!}+\lambda\)

\(=e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\frac{\lambda^{k+2}}{k!}+\lambda\)

\(=\lambda^2+\lambda\)

 

よって分散は

\(\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\lambda\)

 

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