複利計算

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複利計算

 

用語

元金 \(\cdots\) 最初に借り入れた金額

単利 \(\cdots\) 元金にだけ利息がかかる。(⇔複利)

複利 \(\cdots\) 生じた利子も元金に含めていく。(⇔複利)

 

計算

利子率(年利)\(r\)、元金\(x\)、年数は\(n\)とする。

 

単利

1年後には、元金の\(x\)円と利息の\(xr\)円の合計で\(x(1+r)\)円になる。

2年後には、元金の\(x\)円と利息の\(2xr\)円の合計で\(x(1+2r)\)円になる。

\(n\)年後には、元金の\(x\)円と利息の\(nxr\)円の合計で\(x(1+nr)\)円になる。

 

複利

1年後には、元金の\(x\)円と利息の\(xr\)円の合計で\(x(1+r)\)円になる。

2年後には、利子含む元金の\(x(1+r)\)円と利息の\(rx(1+r)\)円の合計で\(x(1+r)^2\)円になる。

3年後には、利子含む元金の\(x(1+r)^2\)円と利息の\(rx(1+r)^2\)円の合計で\(x(1+r)^3\)円になる。

\(n\)年後には、利子含む元金の\(x(1+r)^{n-1}\)円と利息の\(rx(1+r)^{n-1}\)円の合計で\(x(1+r)^n\)円になる。

 

単利と複利の差額

\(x(1+r)^n-x(1+nr)=x\displaystyle\sum_{k=2}^{n} {}_n\mathrm{C}_{k} r^k\)

\(\simeq \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}xr^2\)   ※\(r\)が小さい時

 

72の法則

複利計算において預けた金額が二倍になる年数の概算をする公式、法則。

\(72=(2倍になる年数)\times (年利率(%))\)

 

理由

\(2x=x(1+r)^n\) が2倍になる時の関係式。対数とって

\(\log 2+\log x=\log x+n\log(1+r)\)

\(\log 2=n\log(1+r)\simeq nr\)

※マクローリン展開 \(\log(1+r)=r-\displaystyle\frac{r^2}{2}+\displaystyle\frac{r^3}{3}-\displaystyle\frac{r^4}{4}\cdots\)で\(r\)が小さいための近似。

 

利率を%表示(\(N\)%)にすると \(100\log 2=Nr\)

 

\(100\log 2\simeq 69.3147\simeq 72\)より(72にしたのは、約数が多いから)

\(Nr\simeq 72\)

 

年利4%だと2倍にするのに何年かかるか。

解、\(72\div 4=18\) より約\(18\)年。

 

 

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