ラグランジュの未定乗数法

解析力学
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ラグランジュの未定乗数法

\(g(x,y)=0\)の制約の下での$f(x,y)$の最大値問題を考える。

 

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$を作る。

ある点$(x_{0},y_{0})$となる点で極値を取るならば

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$となる。①

これをラグランジュの未定乗数法という。

これによって最大値問題を解くことが出来る(ただ、解の候補が出てくるだけなので注意)。

 

ある点$(x_{0},y_{0})$で最大値となるならば①を満たすが、①を満たすものがすべて最大値になるわけではない(極値になるだけなので)。すなわち①を解くと解の候補が出てくるだけとなります。

 

例題

 

$x^2+2y^2-1=0$(楕円)のもとで$x+y$の最大値を考える。

 

今の場合、$f(x,y)=x+y$、$g(x,y)=x^2+2y^2-1$であると考えると

 

$L=x+y-\lambda(x^2+2y^2-1)$

 

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0$

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=1-4\lambda y=0$

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^2+2y^2-1)=0$

 

これを解くと $x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}$,$y=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$,$\lambda=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}$

 

よって最大値は$x+y=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}+\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}$

 

 

 

 

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