モンキーハンティング問題

シェアする

モンキーハンティング問題

上のような状況を考える。

問題

① 衝突するときの\(\tan\theta\)を求めよ。

② 地面にぶつからない初速度の条件は?(\(\theta\)使わずに)

③ Bから見たAの速度は?

 

 

解答

1番

Aの運動

\(A_{x}=v_{0}\cos\theta\cdot t\)

\(A_{y}=v_{0}\sin\theta\cdot t-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)

 

Bの運動

\(B_{x}=l\)

\(B_{y}=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)

 

衝突時

\(A_{y}=B_{y}\)が成り立つ。その時刻は\(A_{x}=l\)から求められる。

 

\(t=\displaystyle\frac{l}{v_{0}\cos\theta}\)

 

\(h=v_{0}\sin\theta\cdot t=v_{0}\sin\theta\cdot\displaystyle\frac{l}{v_{0}\cos\theta}=l\tan\theta\)

 

\(\tan\theta=\displaystyle\frac{h}{l}\) が答え

 

これは衝突させるためにはAの発射方向をBに向ければよいということ。

また、初速度に依存しない所も注目すべき点。

 

2番

\(B_{y}=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2>0\) から計算する。

 

\(h>\displaystyle\frac{1}{2}gt^2=\displaystyle\frac{1}{2}g\biggl(\displaystyle\frac{l^2}{v_{0}^2\cos^2\theta}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{gl^2}{2v_{0}^2}(1+\tan^2\theta)=\displaystyle\frac{gl^2}{2v_{0}^2}\biggl(1+\displaystyle\frac{h^2}{l^2}\biggr)=\displaystyle\frac{g}{2v_{0}^2}(l^2+h^2)\)

 

より \(v_{0}>\sqrt{\displaystyle\frac{g(l^2+h^2)}{2h}}\)

 

3番

方向分けて考える。

 

\(v_{ax}-v_{bx}=v_{0}\cos\theta\)

\(v_{ay}-v_{by}=(v_{0}\sin\theta-gt)-(-gt)=v_{0}\sin\theta\)

 

つまり、BからみるとAが一直線に自分の方向に飛んでくるように見える。

シェアする