微積物理　電磁気学

本来、物理は微分積分を使うものなのだが（物理と微分積分は切っても切り離せない）、高校では指導要領の関係で微積を使った物理を教わりません。

なので、今回は高校物理で出てくる公式を微積分を使って導出していく。

※Maxwell方程式使うので、高校生には高度な部分も多々あるかと思われます。

電場と電位

電場は、$E(r)=\displaystyle\frac{kq}{r^2}$と書けるので、電位は

$$\phi=-\displaystyle\int_{\infty}^{r} E(R) dR=-\displaystyle\int_{\infty}^{r} \displaystyle\frac{kq}{R^2} dR=\displaystyle\frac{kq}{r}$$

ガウスの定理

電荷$Q$から出る電気力線の本数は$4\pi kQ$本である（少し言い換えると、$ES=4\pi k Q$）

Maxwell方程式より $\mathrm{div}\boldsymbol{E}=\displaystyle\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$

電荷を覆う領域で体積積分すると

$\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E} dV=\displaystyle\int_{V}\displaystyle\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} dV$

$\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$

$ES=4\pi k Q$　が導出できる。

電流が作る磁場

直線電流

アンペール法則より(積分領域は直線電流に垂直な半径$r$の円)

$\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot} \boldsymbol{H} d\boldsymbol{S}=I$

$左辺=\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=2\pi r H$

よって、$H=\displaystyle\frac{I}{2\pi r}$が導かれる。

円電流

半径$a$の円電流の中心での磁場を求める。

円上の点Sを($a\cos\theta,a\sin\theta$)とおく。

$d\boldsymbol{s}=(-a\sin\theta d\theta,a\cos\theta d\theta ,0)$となる。

$\boldsymbol{r}=\overrightarrow{SB}=(-a\cos\theta,-a\sin\theta,z)$

※点Bは円の中心から$z$離れたz軸上の点。

ビオサバールの法則より

$\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{I}{4\pi}\cdot\displaystyle\frac{d\boldsymbol{s}\times \boldsymbol{r}}{r^3}=\displaystyle\frac{I}{4\pi(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\left( \begin{array}{c} az\cos\theta d\theta \\ az\sin\theta d\theta \\ a^2 d\theta \end{array} \right)$

$[0,2\pi]$で積分すると

$\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{I}{4\pi(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2\pi a^2 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{Ia^2}{2(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\boldsymbol{e}_{z}$

$z=0$とすると、$H=\displaystyle\frac{I}{2r}$が導かれる。

ソレノイド

$N$回巻きの円電流があると考える。

$dH=\displaystyle\frac{NIa^2}{2(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} dz$

$H=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{NIr^2}{2(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}dz=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{NI}{2}\cos\theta d\theta=NI$

※$z=a\tan\theta$と変換した。

$H=NI$が導出される。

ファラデーの電磁誘導の法則

Maxwell方程式からの変形で出してみる。

$\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

これを面積積分する。

$左辺=\displaystyle\int_{S} \mathrm{rot}\boldsymbol{E} d\boldsymbol{S}=\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=V$

$右辺=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=-\displaystyle\frac{d \Phi}{dt}$

よって、$V=-\displaystyle\frac{d \Phi}{dt}$。

インピーダンス

RLC直列回路があるとする。交流電圧を$V=V_{0}e^{i\omega t}$とする。

コンデンサでは

$I=\displaystyle\frac{dQ}{dt}=C\displaystyle\frac{dV}{dt}=i\omega C V_{0} e^{i\omega t}=I_{0}e^{i\omega t}$

$Z=\displaystyle\frac{V_{0}}{I_{0}}=\displaystyle\frac{1}{i\omega C}$

コイルでは

$V=L\displaystyle\frac{dI}{dt}=i\omega L I_{0}e^{i\omega t}=V_{0}e^{i\omega t}$

$Z=\displaystyle\frac{V_{0}}{I_{0}}=i\omega L$

よって合成インピーダンスは、$Z=R+i\omega L+\displaystyle\frac{1}{i\omega C}$であり、これの絶対値を取ると

$Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2}$