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目次
慣性テンソル
対角成分を慣性モーメント係数、それ以外を慣性乗積と呼ぶ。
計算
ある軸まわりに一様な角速度ベクトル（\(=\omega\)）で回転してる場合を考える。（剛体を考えてる。）
角運動量ベクトルを変形していく。すべての粒子に対して和を取っている。
以下のベクトルは原点から見たベクトルに限る必要はない。点A中心の慣性テンソルなら全てその点まわりのベクトルになる。
\(\boldsymbol{L}=\displaystyle\sum_{i} \boldsymbol{r_{i}}\times m_{i} \boldsymbol{v_{i}}\) ※定義
\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r_{i}}\times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r_{i}})\) ※書き換え
\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \biggl[(\boldsymbol{r_{i}}\cdot\boldsymbol{r_{i}})\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{r_{i}}\cdot \boldsymbol{\omega})\boldsymbol{r_{i}}\biggr]\) ※ベクトル解析の公式
座標表示
\(\boldsymbol{r_{i}}\) と \(\boldsymbol{\omega}\)を座標表示する。
\(\boldsymbol{r_{i}}=(x_{i},y_{i},z_{i})\)
\(\boldsymbol{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})\)
すると以下のように変形できる。（先程の計算の続き）
\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \biggl[(x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2)\boldsymbol{\omega}-(x_{i}\omega_{x}+y_{i}\omega_{y}+z_{i}\omega_{z})\boldsymbol{r_{i}}\biggr]\)
\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i} \)\(\left( \begin{array}{ccc} x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 & 0 & 0 \\ 0 & x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 & 0 \\ 0 & 0 & x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2 \end{array} \right)\)\(\left( \begin{array}{c} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{array} \right)\)
\(-\displaystyle\sum_{i} m_{i}\)\(\left( \begin{array}{ccc} x_{i}^2 & x_{i}y_{i} & x_{i}z_{i} \\ x_{i}y_{i} & y_{i}^2 & y_{i}z_{i} \\ x_{i}z_{i} & y_{i}z_{i} & z_{i}^2 \end{array} \right)\)\(\left( \begin{array}{c} \omega_{x} \\ \omega_{y} \\ \omega_{z} \end{array} \right)\)
\(=\displaystyle\sum_{i} m_{i}\left( \begin{array}{ccc} y_{i}^2+z_{i}^2 & – x_{i}y_{i} & -x_{i}z_{i} \\ -x_{i}y_{i} & z_{i}^2+x_{i}^2 & – y_{i}z_{i} \\ -x_{i}z_{i} & – y_{i}z_{i} & x_{i}^2+y_{i}^2 \end{array} \right)\boldsymbol{\omega}\)
\(=I\boldsymbol{\omega}\)
結果
上の計算より慣性テンソルは以下のようになる。
\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{i}^2+z_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (z_{i}^2+x_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2) \end{array} \right)\)
