目次
慣性テンソル
\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{i}^2+z_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (z_{i}^2+x_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2) \end{array} \right)\)
これを計算する。
問題
長さが \(a , b , c\)の直方体の重心周りの慣性テンソルを考える。重心を原点にすると
\(-\displaystyle\frac{a}{2}\leq x\leq \displaystyle\frac{a}{2}\)、\(-\displaystyle\frac{b}{2}\leq y\leq \displaystyle\frac{b}{2}\)、\(-\displaystyle\frac{c}{2}\leq z\leq \displaystyle\frac{c}{2}\)
対角成分
\(I_{zz}=\displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2)\)
\(\rho\)は密度として、\(M=\rho abc\)なので微小要素を足し合わせて考えると
\(=\displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \displaystyle\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \displaystyle\int_{-\frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} (x^2+y^2)\rho dxdydz\)
\(=\rho c \displaystyle\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\biggl[\displaystyle\frac{x^3}{3}+xy^2 \biggr]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} dy = \rho c \displaystyle\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\biggl(\displaystyle\frac{a^3}{12}+ay^2 \biggr)dy\)
\(=\displaystyle\frac{\rho c}{12}(a^3 b+ab^3)\)
\(=\displaystyle\frac{M}{12}(a^2+b^2)\)
同様の計算で
\(I_{xx}=\displaystyle\frac{M}{12}(b^2+c^2)\)
\(I_{yy}=\displaystyle\frac{M}{12}(c^2+a^2)\)
非対角成分
ところで\(I_{xy}\)のような成分はどうなるか。
\(I_{xy}=-\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i}\)
\(=-\displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\displaystyle\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\displaystyle\int_{-\frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}} xy \rho dxdydz\)
\(=0\) ※\(x\)や\(y\)成分が0になる。
結果
まとめると、以下のような行列になる。
\(I=\displaystyle\frac{M}{12}\left( \begin{array}{ccc} b^2+c^2 & 0 & 0 \\ 0 & c^2+a^2 & 0 \\ 0 & 0 & a^2+b^2 \end{array} \right)\)
