[mathjax]
シュレディンガー方程式
量子力学の基本方程式。
シュレディンガー方程式
導出の前にシュレディンガー方程式を書いてみます。
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\)
一次元の場合 …… \(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{d x^2}+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\)
時間に依存しない場合 …… \(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})\)
ハミルトニアンを使う …… \(H\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})\)
※ \(H=-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\)
導出
導出は数学的、数式上になるが、実際シュレディンガー方程式は実験事実に合っている。
ド・ブロイの関係式から考える。
\(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\) ※\(\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}\)
すると波動関数は \(\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}\) と書ける。
ここで、
\(\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}\psi\)
\(\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\displaystyle\frac{iE}{\hbar}\psi\)
これらを使って古典的な場合のエネルギー等式 \(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\)を応用すると以下の等式が得られる。
\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)
ポテンシャルがある場合に応用すると\(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(x)\)から以下のようになる(三次元化した)。これがシュレディンガー方程式。
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)
微分演算子
シュレディンガー方程式を古典的なエネルギー等式と見比べると以下の関係が分かる。
\(E\longrightarrow i\hbar \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\)、\(\boldsymbol{p}\longrightarrow -i\hbar \nabla\)
波動関数に作用する微分演算子として考えることが出来る。
