シュレディンガー方程式
方程式
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\)
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{d x^2}+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}\) （一次元）
\(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})\) （時間依存しない）
導出
ド・ブロイの関係式から考える。
\(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\) ※\(\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}\)
すると波動関数は \(\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}\) と書ける。ここで
\(\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}\psi , \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\displaystyle\frac{iE}{\hbar}\psi\)
これらを使って古典的な場合のエネルギー等式 \(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\)を応用すると以下の等式が得られる。
\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}\)
ポテンシャルがある場合に応用し、三次元化すると\(E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(x)\)から以下のようになる。
$$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}$$
微分演算子
シュレディンガー方程式を古典的なエネルギー等式と見比べると以下の関係が分かる。
\(E\longrightarrow i\hbar \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\)、\(\boldsymbol{p}\longrightarrow -i\hbar \nabla\)
波動関数に作用する微分演算子として考えることが出来る。
