ローレンツ収縮

相対性理論
スポンサーリンク

[mathjax]

ローレンツ収縮

 

ローレンツ変換

ローレンツ変換は以下のような変換である。

\(\left(\begin{array}{c} t’ \\ x’ \\ y’ \\ z’ \end{array} \right) =\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\displaystyle\frac{\gamma v}{c^2} & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} t \\ x  \\ y  \\ z  \end{array} \right) \)

 

ローレンツ収縮

静止している側から動いてる物体を見ると縮んで見える。これをローレンツ収縮という。光速に近くないと小さすぎてあまり分からない。

\(l_{0}\)が静止系での棒の長さ(棒の固有の長さ)、\(l\)が物体に対して運動をする観測者が観測する長さ。

静止している系を\(K\)系、動いている系を\(S\)系とする。

\(S\)系とともに動く棒(長さ\(l_{0}\))を考えると、左端の\(S\)系の座標\(y_{1} \)と右端の\(S\)系の座標\(y_{2} \) を使って

\(l_{0}=y_{2} -y_{1} \) と書ける。

この両端の座標を\(K\)系から見た時それぞれ\(x_{1}\)、\(x_{2}\)と書く。

\(l=x_{2}-x_{1}\) である。

 

ここでそれぞれの座標系の関係性はローレンツ変換から以下のようになる。

\(y_{1}=\gamma x_{1}-\gamma vt\)

\(y_{2}=\gamma x_{2}-\gamma vt\)

 

よって

\(l_{0}=y_{2}-y_{1}=\gamma(x_{2}-x_{1})=\gamma l\)

\(=\displaystyle\frac{l}{\sqrt{1-\biggl(\displaystyle\frac{v}{c}\biggr)^2}}\)

 

\(l=l_{0}\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}=l_{0}\sqrt{1-\beta^2}\)

となって、進行方向に対して\(\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}\)倍に縮む

つまり、\(K\)系から見ると棒は棒の固有の長さより縮んで見える。これをローレンツ収縮という。

我々の通常生きている世界では、\(v<<c\)なので\(l\simeq l_{0}\)となる。

 

タイトルとURLをコピーしました