シュレディンガー方程式

方程式

$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}$

$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{d x^2}+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}$ （一次元）

$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})$　（時間依存しない）

導出

ド・ブロイの関係式から考える。

$E=\hbar\omega$、$p=\hbar k$　　※$\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}$

すると波動関数は　$\psi=e^{i(kx-\omega t)}=e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$ と書ける。ここで

$\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}\psi , \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\displaystyle\frac{iE}{\hbar}\psi$

これらを使って古典的な場合のエネルギー等式　$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}$を応用すると以下の等式が得られる。

$-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}$

ポテンシャルがある場合に応用し、三次元化すると$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(x)$から以下のようになる。

$$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\biggr]\psi=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}$$

微分演算子

シュレディンガー方程式を古典的なエネルギー等式と見比べると以下の関係が分かる。

$E\longrightarrow i\hbar \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}$、$\boldsymbol{p}\longrightarrow -i\hbar \nabla$

波動関数に作用する微分演算子として考えることが出来る。