目次
ボーズ分布、フェルミ分布
ボーズ分布関数
\(\langle n_{j}\rangle=f(\varepsilon_{j})=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}-1}\)
一つのエネルギー準位に入る粒子の数を意味する。
フェルミ分布関数
\(\langle n_{j}\rangle=f(\varepsilon_{j})=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}+1}\)
1つのエネルギー状態に入る占有数（粒子の数）の期待値を表す。
※フェルミ分布関数が0から1までしかとれないことはFermiの排他原理と一致する。
導出
グランドカノニカル分布を考えると、大分配関数は\(E=\varepsilon_{j}n_{j}\)より
ボソンの時
ボソンなのであるエネルギー状態に対して、\(n_{j}\)は0から無限大までの値を取り得る。
\(\Xi_{j}=\displaystyle\sum_{n_{j}=0}^{\infty} e^{-\beta n_{j}(\varepsilon_{j}-\mu)}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}\)
よって
\(\langle n_{j}\rangle=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log\Xi =\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}-1}\)
フェルミオンの時
フェルミオンなのであるエネルギー状態に対して、\(n_{j}\)は0と1の値を取り得る。
\(\Xi_{j}=\displaystyle\sum_{n_{j}=0}^{1} e^{-\beta n_{j}(\varepsilon_{j}-\mu)}=1+e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}\)
よって
\(\langle n_{j}\rangle=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log\Xi =\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}+1}\)
グランドカノニカル分布
グランドカノニカル分布について
\(\Xi=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} e^{-\beta(E_{i}-\mu N_{i})}\)
分配関数\(Z_{N}\)を使うと
\(\langle N \rangle=\displaystyle\frac{1}{\Xi}\displaystyle\sum_{N=0}^{\infty} Ne^{\beta\mu N}Z_{N}=\displaystyle\frac{1}{\beta\Xi}\displaystyle\frac{\partial \Xi}{\partial \mu}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log \Xi\)
