ボーズ分布、フェルミ分布

統計力学
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ボーズ分布、フェルミ分布

ボーズ分布関数

\(\langle n_{j}\rangle=f(\varepsilon_{j})=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}-1}\)

一つのエネルギー準位に入る粒子の数を意味する。

 

フェルミ分布関数

\(\langle n_{j}\rangle=f(\varepsilon_{j})=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}+1}\)

1つのエネルギー状態に入る占有数(粒子の数)の期待値を表す。

※フェルミ分布関数が0から1までしかとれないことはFermiの排他原理と一致する。

 

導出

グランドカノニカル分布を考えると、大分配関数は\(E=\varepsilon_{j}n_{j}\)より

 

ボソンの時

ボソンなのであるエネルギー状態に対して、\(n_{j}\)は0から無限大までの値を取り得る。

\(\Xi_{j}=\displaystyle\sum_{n_{j}=0}^{\infty} e^{-\beta n_{j}(\varepsilon_{j}-\mu)}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}}\)

 

よって

\(\langle n_{j}\rangle=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log\Xi =\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}-1}\)

 

フェルミオンの時

フェルミオンなのであるエネルギー状態に対して、\(n_{j}\)は0と1の値を取り得る。

\(\Xi_{j}=\displaystyle\sum_{n_{j}=0}^{1} e^{-\beta n_{j}(\varepsilon_{j}-\mu)}=1+e^{-\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}\)

 

よって

\(\langle n_{j}\rangle=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log\Xi =\displaystyle\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_{j}-\mu)}+1}\)

 

グランドカノニカル分布

グランドカノニカル分布について

\(\Xi=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} e^{-\beta(E_{i}-\mu N_{i})}\)

 

分配関数\(Z_{N}\)を使うと

\(\langle N \rangle=\displaystyle\frac{1}{\Xi}\displaystyle\sum_{N=0}^{\infty} Ne^{\beta\mu N}Z_{N}=\displaystyle\frac{1}{\beta\Xi}\displaystyle\frac{\partial \Xi}{\partial \mu}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \mu}\log \Xi\)

 

 

 

 

 

 

 

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