ポアソンの法則

統計力学
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ポアソンの法則

ポアソンの法則は、断熱変化の場合に当てはまる以下の公式です。

$pV^{\gamma}=C(一定)$

 

 

証明

熱力学第一法則において断熱なので、$Q=\Delta U+W=0$

$\Delta U=nC_{v}\Delta T$と$W=p\Delta V$を代入すると

$nC_{v}\Delta T+p\Delta V=0$

変形して状態方程式を代入すると

$\Delta T+\displaystyle\frac{RT}{C_{v}V}\Delta V=0$

 

ここで、$\gamma=\displaystyle\frac{C_{p}}{C_{v}}=\displaystyle\frac{C_{v}+R}{C_{v}}=1+\displaystyle\frac{R}{C_{v}}$なので

 

$\displaystyle\frac{\Delta T}{T}+(\gamma-1)\displaystyle\frac{\Delta V}{V}=0$

 

積分すると、$\log T+(\gamma-1)\log V=D(定数)$となり、まとめると$TV^{\gamma-1}=A(一定)$

 

さらに状態方程式を代入すると$\displaystyle\frac{pV}{nR}V^{\gamma-1}=A$より

$pV^{\gamma}=C(一定)$となる。

 

 

 

 

 

 

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