ゾンマーフェルト展開

統計力学
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ゾンマーフェルト展開

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}g(\varepsilon)f(\varepsilon) d\varepsilon=\displaystyle\int_{0}^{\mu} g(\varepsilon) d\varepsilon+\displaystyle\frac{\pi^2}{6}(kT)^2 g^{\prime}(\mu)+\cdots$

$=G(\mu)+\displaystyle\frac{\pi^2}{6}(kT)^2G^{\prime\prime}(\mu)$

 

ただし、$G(\varepsilon)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} g(\varepsilon) d\varepsilon$としている。また、$f(\varepsilon)$はFermi分布関数です。積分範囲は下限が$-\infty$のこともある。

 

$g(\varepsilon)=D(\varepsilon)$ であれば粒子数、$g(\varepsilon)=\varepsilon D(\varepsilon)$であればエネルギーとなる。

 

 

 

計算

左辺を計算していく。まずは部分積分をする。

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} g(\varepsilon)f(\varepsilon) d\varepsilon=\biggl[G(\varepsilon)f(\varepsilon)\biggr]_{-\infty}^{\infty}-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\varepsilon)f^{\prime}(\varepsilon) d\varepsilon$

 

$= -\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G(\varepsilon)f^{\prime}(\varepsilon) d\varepsilon$

※$f(\infty)=G(-\infty)=0$であるので第一項は消える。

 

$=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left[G(\mu)+G^{\prime}(\mu)(\varepsilon-\mu)+\displaystyle\frac{1}{2}G^{\prime\prime}(\mu) (\varepsilon-\mu)^2+\cdots\right]\times \displaystyle\frac{\beta e^{\beta(\varepsilon-\mu)}}{(e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1)^2} d\varepsilon$

※$G(\varepsilon)$を$\mu=\varepsilon$まわりで展開。

 

$= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left[G(\mu)+G^{\prime}(\mu)\varepsilon+\displaystyle\frac{1}{2}G^{\prime\prime}(\mu) \varepsilon^2+\cdots\right]\times \displaystyle\frac{\beta e^{\beta\varepsilon}}{(e^{\beta\varepsilon}+1)^2} d\varepsilon$

※$\varepsilon\to \varepsilon+\mu$と置き換える

 

$= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left[G(\mu)+\displaystyle\frac{1}{2}G^{\prime\prime}(\mu) \varepsilon^2+\cdots\right]\times \displaystyle\frac{\beta e^{\beta\varepsilon}}{(e^{\beta\varepsilon}+1)^2} d\varepsilon$

※奇関数の項は消える。

 

$= G(\mu)+G^{\prime\prime}(\mu)\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{\beta^2(e^x+1)^2}dx$

 

$= \displaystyle\int_{0}^{\mu} g(\varepsilon)d\varepsilon+\displaystyle\frac{\pi^2}{6}(k_{b}T)^2 g^{\prime}(\mu)+\cdots$

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2}dx=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$を使用した。以下にこの積分の解説を載せています。

積分問題108番
積分問題108番の問題です。

 

 

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