目次
階段型ポテンシャル
以下のようなポテンシャルのもとでシュレディンガー方程式を解く。
\(V(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ \\V_{0} & x>0 \end{cases}\)
\(E>V_{0}\)のとき
各領域での波動関数
シュレディンガー方程式は \(\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)\)
・\(x<0\)のとき
\(V(x)=0\) より \(\displaystyle\frac{d^2 \psi}{dx^2}=-\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}\psi\) で、これを解くと
\(\psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\) ※\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)
・\(0<x\)のとき
\(V(x)=V_{0}\)なので上と同様にして解くと
\(\psi=Ce^{is x}\) ※\(s=\displaystyle\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}\)
接続条件
ここで\(x=0\)での接続条件を課す。（波動関数とその一階微分が連続）
・\(x=0\)での条件
\(A+B=C\)
\(ik(A-B)=isC\)
\(\displaystyle\frac{B}{A}=\displaystyle\frac{k-s}{k+s}\)、\(\displaystyle\frac{C}{A}=\displaystyle\frac{2k}{k+s}\)
確率流密度
\(x<0\)での確率流密度は
\(j_{1}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{1}^{\star}\nabla\psi_{1}-\nabla(\psi_{1}^{\star})\psi_{1})=\displaystyle\frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2)\)
\(x>0\)での確率流密度は
\(j_{2}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{2}^{\star}\nabla\psi_{2}-\nabla(\psi_{2}^{\star})\psi_{2})=\displaystyle\frac{\hbar s}{m}|C|^2\)
結果
よって反射率\(R\)は
$$R=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|B|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl(\displaystyle\frac{k-s}{k+s}\biggr)^2$$
透過率\(T\)は
$$T=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar s}{m}|C|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\displaystyle\frac{s}{k}\biggl|\displaystyle\frac{C}{A}\biggr|^2=\displaystyle\frac{4ks}{(k+s)^2}$$
※\(R+T=1\)となっている。
※反射率、透過率は確率流の比で表される。
\(0<E<V_{0}\)のとき
各領域での波動関数
・\(0<x\)のとき \(V(x)=0\)なので
\(\psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\) ※\(k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)
・\(0<x\)のとき \(V(x)=V_{0}\)なので
\(\psi=Ce^{-t x}\) ※\(t=\displaystyle\frac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}\)
接続条件
ここで\(x=0\)での接続条件を課す。（波動関数とその一階微分が連続）
・\(x=0\)での条件
\(A+B=C\)
\(ik(A-B)=-tC\)
\(\displaystyle\frac{B}{A}=\displaystyle\frac{k-it}{k+it}\)、\(\displaystyle\frac{C}{A}=\displaystyle\frac{2k}{k+it}\)
確率流密度
\(x<0\)での確率流密度は
\(j_{1}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{1}^{\star}\nabla\psi_{1}-\nabla(\psi_{1}^{\star})\psi_{1})=\displaystyle\frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2)\)
\(x>0\)での確率流密度は
\(j_{2}=\displaystyle\frac{\hbar}{2mi}(\psi_{2}^{\star}\nabla\psi_{2}-\nabla(\psi_{2}^{\star})\psi_{2})=0\)
結果
反射率\(R\)は
$$R=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|B|^2}{\displaystyle\frac{\hbar k}{m}|A|^2}=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl|\displaystyle\frac{k-it}{k+it}\biggr|^2=1$$
透過率\(T\)は
$$T=0$$
※よって、\(R+T=1\)となっている。
